Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Из (VII. 11.20) и (VII. 11.7)

т 2mh У у. Т 2mh У у.

f"*, (VII. И. 21)

где q*=--средний но времени расход закачиваемой жидкости /.

Указанный выше метод численного интегрирования уравнения (VII. 11. 6) нри соблюдении условия (VII. 11. 10) является, очевидно, весьма трудоемким, так как исходная величина о должна определяться подбором.

Ускорение расчетов может быть достигнуто применением современных быстродействующих вычислительных устройств, что было сделано Я. И. Али-хашкиным, выполнившим численное решение задачи прямолинейного и радиального вытеснения при помощи вычислительной машины «Стрела» [36].

Представляет, однако, интерес получение хотя бы приближенных аналитических решения, удовлетворяющих требованиям практической точности и достаточным образом определяющих влияние параметров \io и а. Основной практический интерес представляет определение величин ?о и gi, показывающих движение точек А vi В (рис. VII. 33) пересечения границы раздела с подошвой и кровлей пласта и характеризующих степень вклиниваний одной жидкости в другую. В качестве одного из таких приближенных методов можно предложить метод, приб л питающийся по идее к методам, применяемым в теории пограничного слоя, в частности к методу интегральных соотношений, развитому Г. И. Баренблаттом для приближенного решения уравнений в частных производных нестационарной фильтрации жидкости и газа [37].

Умножим сначала уравнение (VII. 11. 6) на 5" (п =0,1, 2,...) и проинтегрируем в пределах от 5 = 5о до = i, соответствующих ио и и:

dl~a

" - dl dl"

u (1-u) du l-i-(fio-l)" dl

[l + (Mo-l)«[

d = 0.

I" X

(VII. 11.22)

Интегрируя HO частям, представим (VII. И. 22) в таком виде:

iT\~iV\--+)

1+ ([!„-1)0

(lo-1 [ l-f(fio-l)"i

14-(lXo-l)"

l-b(Mo-l)"i

C"o(l-"o)"o г Jd-

l+(Mo-l)

"o .j 1

+ (Mo-l)"l

= 0. (VII. 11. 23)

Пусть uo = 0, "1=1. Тогда (VII. И. 23) обращается в следующее уравнение при условии, что иф оо, = оо:

i;+-(n+i)

Po-l

I"

l~u{l~u)u l-f-(Po-l)"

l + (Po-l)«

(VII. 11. 24)

Нетрудно видеть, что условие (VII. И. 10) получается из (VII. И. 24) при п = 0. Будем искать теперь решение в виде ряда

(VII. 11.25)

где ф1 (I) - некоторая линейно независимая система функций, видом которых мы задаемся; оо, aj - неопределенные коэффициенты-

Задаваясь п членами ряда и полагая в (VII. И. 24) последовательно п = = О, 1,2,..., получаем (п + 1) уравнений для коэффициентов оо, (Ц (i - 1, 2,...п), а из условий (VII. И. 13) и (VII. И. 14), следующих из самого дифференциального уравнения (VII. И. 6), получаем еще два уравнения для неизвестных абсцисс lo, ll. Таким образом, может быть составлена замкнутая система уравнений для определения всех неизвестных. При неограниченном возрастании числа членов п ряда (VII. 11. 25) будем, вообще говоря, формально иеограии-ченио приближаться к точному решению.

Для приближенных расчетов с достаточной для практики точностью можно аппроксимировать и ф параболой 2-й илп 3-й степени, а иногда даже просто прямой линией и удержать только одно интегральное соотношение п = О, т. е. удовлетворить балансу расхода.

Например, можно представить и (1) в таком виде:

"(?) = ai(-?o)4-a2(S-o)S

(VII. 11.26)

когда и(о) = 0, и искать параметры Oj, о, 1д, Ij из условий (VII. 11.13) (VII. И. 14), (VII. И. 10) и условия u(Ei) = l. Полипом 3-й степени для и{1) будет иметь вид:

" (I) = ai (I -1 о) + «2 (I - 1о) + аз (S - lo? (VI1. 11. 27)

Для дополнительного неизвестного коэффициента Og может быть использовано условие (VII. 11. 15) или одно интегральное соотношение (VII. И. 23) для га = 1. Ограничимся квадратичной параболой (VII. И. 26). Аппроксимация параболами более высокого порядка была произведена В. Н. Донецким [17], причем были получены результаты, аналогичные приведенным ниже.

Для параметров oi, Oj, о, i из условий (VII. И. 13) и (VII. И. 14) получим

и; = а=а--1-Е, „;=Mi = «1+202(11-У- (VII. И. 28)

Из (VII. И. 10)

. 2а ,

udl = + -La,{l,-U)+-l-Ро -J

adi-lo). (VII. 11. 29)

Из условия и(Ы = 1 и (VII. И. 28)

2(li-o)

Moli + lo а(1+Цо)

. (VII. И. 30)

Подставляя ai, из (VII. И. 28) в (VII. 11.29) и (VII. 11.30), после упрощения получаем два уравнения для 1д и g,:

2 1 3fi„ / 6 12 1 + Мо\ lo , Moll

Обозначим

(ii-lo)S (VII. И. 31) (li~lo)- (VII. И. 32)

(VII. 11.33)

Тогда i = z + o и из (VII. 11. 32) получаем 4

1о = -

»-(ji„-l)z fl Подставляя это выражение в (VII. 11.31), получаем

--fl-iito). (VII. и. 34)

0-1 Мо-Ц 2цо j

j4 12

+((i - 1) z4 (Мо + 1) 2 + 2Ь (Мо -1) 2- 4 = 0. (VII. И. 35)

Найдя отсюда z, из (VII. 11.34) можно вычислить 1д. Можно также непосредственно искать 1д. Для нахождения 1д предварительно целесообразно уравнения (VII. 11. 37) и (VII. 11. 36) выразить через 1д и z:

i = -f[i\o-i)(b + lo) + \igz]z.

(VII. И. 36)

6-g„ = z- [b(2fi„-l) + (fi„-2) Ig + vgz] zK (VII. 11. 37)

Уравнение (VII. 11. 36) с учетом (VII. 11.35) может быть заменено следующим:

I2{b~lg) = 8z + ag~2a)z\ (VI1. 11. 38)

Из (VII. И. 38) и (VII. И. 36) можно после некоторых преобразований выразить 2 через Igi

3(м„-1)(Ь"-0-8

1(1+Змо) go-8а

(VII. И. 39)

Подставляя z из (VII. 11. 39) в (VII. 11. 37), после простых, но довольно громоздких алгебраических выкладок получаем уравнение 4-й степени для о-

-3 (М„- 1) 1 + ЗЬ (fi- 1) ll+ [3 (fi„-l) (fi„+ 1) 6-12(1-56 м, + 4] ll +

+ [-3(м„-1)бЧ(104м" + 16м„ + 8)6]1,+

+ [ - ЗМ„ (Mo -1) - (80 м! - 16 M-) ЬЧ 64 нJ = 0. (V11. 11. 40)