Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

где справедливость формулы (VIII. 3.1) следует из принципа суперпозиции, (Ро - постоянное всюду начальное давление). Переходя к пределу при Дт -0 и полагая

limQAT = F, ДТ О

где V - объем мгновенно отобранной из пласта жидкости, получаем:

- du

4Х (t-T)

Ankh

(VIII.3. 2)

Рис. VIII. 3.

Рис. VIII. 4.

г*лг t

Формула (VIII. 3. 2) дает температурный эффект, вызываемый действием мгновенного теплового источника.

Непрерывный отбор жидкости из пласта с переменным во времени дебитом Q (t) можно рассматривать как бесконечную последовательность элементарных отборов, действие каждого из которых можно определить по формуле (VIII. 3. 2). Суммарное действие всей последовательности элементарных отборов выразится интегралом, называемым интегралом Дюамеля [Лт. VII. 31):

9(t)

Рй~Р(г, 0 =

-6 ix-dT.

(VIII.3. 3)

Полагая в (VIII.3.3) Q(T) = Q = const и производя замену переменных

4х(<-т)

получаем, как легко видеть, снова формулу (VIII, 2. 60).

Рассмотрим теперь случай кольцевого стока радиусом а (рис. VIII. 5).

Элемент кольцевого стока ad в можно рассматривать как точечный сток. Вследствие линейности уравнения теплопроводности можно суммировать давления, вызываемые элементарными точечными стоками или источниками. Пусть Q = <? (т) - переменный во времени дебит всей кольцевой галереи. Тогда дебит элемента adQ в точке А будет

Q(T)dO

9 (т) = -

(VIII. 3.4)

Согласно (VIII. 3.3) распределение давления от точечного стока в начале координат будет

jilL- 4и(1-т)

(VIII. 3. 5)

где г - расстояние до стока.

Подставив (VIII. 3.4) в (VIII. 3.5), получим эффект действия элементарного стока add, при этом полагаем г = г, где г = АМ (рис. VIII. 5) расстояние точки М, где определяется давление, от стока:

d[Po~P{r, t)] =

= н

inkh

Г Q(x)db riiky. (t-T) J 2n(t-x) *

r« = AM = a2 -)- 0M2 - 2дОМ cos (6 - ф) =

= a2 + г2 - 2ar cos (в - ф).

Эффект действия всей кольцевой галереи будет

4л М ,

О Ь

г2 + а2 -2аг соз (9-Ф)

2Л (t~X)

4и((-т) (VIII. 3.6)

в (VIII. 3.6) двойной интеграл можно представить так:

Рис. VIII. 5.

Ро~Р{г, t) =

4л kh

г2 + а2 Q()„ 4x(t-т)

. 2л

2" 2агсо8(е-ф)

е 4x(t-T) 9

dt. (VIII. 3.7)

Пользуясь формулой, которую мы уже встречали (§ 10, гл. VII),

J е*°в = 2л/о(х),

где /о - функция Бесселя нулевого порядка первого рода мнимого аргумента, получаем

2л 2arcos(»-ф) Je 4«(-) в = 2л/о

= 2л/,

4и(г-т) J Ч 2и(г-т) .

. (VIII. 3.8)

Подставив (VIII. 3.8) в (VIII. 3.7), получим

. 2K(t-x)

dx. (VIII. 3.9)

2x(t - x)

= /„(0) = 1.

Тогда получаем формулу для точечного стока (VIII. 3.3). Интеграл (VIII. 3-9) имеет вид, который в операционном исчислении называется сверткой двух функций /j и f:

J{t)=f, (t-x)U (x)dx. 0

в этих интегралах Д и /2 можно менять местами. Действительно, сделаем замену переменного:

t~x = x, dT = -(ft. т = г-т, t О t

/(«)= J fl (t~x) h (T) dt = - J /1 (X) и (t - X) dx = J /1 (f) /2 {t-X) dx.

Таким образом, можно получить другое представление формулы (VIII. 3. 9):

§ 4. Метод последовательной смены стационарных состояний. Приток к прямолинейной галерее

В связи со Сложностью точных решений были предложены приближенные методы решения задач о нестационарной фильтрации жидкости и газа в пористой среде. Эти же методы позволяют изучать некоторые нестационарные тепловые задачи.

Одним из таких методов является метод последовательной смены стационарных состояний, который, по-видимому, впервые был применен к фильтрационным задачам К. Э. Лембке [14]. Этот же метод был применен и развит далее Л. С. Лейбензоном для решения некоторых тепловых задач. Рассмотрим вначале задачу о притоке упругой жидкости к галерее.

Дан полубесконечный пласт, т. е. пласт, ограниченный с одной стороны прямолинейным контуром. Вначале во всей области существовало постоянное давление рн (рис. VIII. 6, а).

Пусть в сечении ж = О давление внезапно снизилось и стало равным Рс- Точное решение этой задачи выражается интегралом вероятности (VIII. 2. 31). Вместо этого решения можно предложить следующую расчетную схему.

Представим себе, что в данный момент i > О зона пониженного давления распространилась на какое-то расстояние / = I (t).

Распределение давления в этой зоне будем считать стационарным, в чем собственно и состоит сущность метода.

Это есть уравнение Маскета для кольцевого стока радиусом а дебита Q (т) При а -> О