Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Подставляя эти выражения в формулу (П1.3.4), получаем

dz dl

Сокращая на

dz dl

dФ d\

, будем иметь \dk\. (П1.3. 6)

В правой части формулы (П1. 3. 6) согласно формуле (1П. 3. 4) стоит абсолютная величина дебита скважины на плоскости равная абсолютному значению дебита скважины на плоскости Z.

За исходный ноток естественно принять простейший вид течения, например плоско-параллельное течение

F{z)==Az. (П1.3.7)

Пусть А - положительная и действительная постоянная. Отделяя действительную и мнимую части, получаем

F{z) = 0 + iW А{х+ iy).

Ф = const

©

откуда

Ф = Ах, W = Ay.

{III. 3. 8)

Рис. III. 5. Соответствие между эквипотенциалями и линиями тока при плоско-параллельном течении и притоке к точечному стоку на плоскости.

Таким образом, эквипотенциали Ф = Ах = const являются семейством

прямых, параллельных оси у (рис. П1.5), а линии тока = Ау = = const - прямыми, параллельными оси х. Проекции скорости фильтрации и, v равны

дФ .

и =---- = - А,

дФ „

V =--- = 0.

(III. 3. 9)

Таким образом, характеристическая функция течения F(z) = Az определяет плоско-параллельное течение в сторону отрицательной оси X с постоянной во всех точках скоростью и = - А.

Сделаем теперь замену переменного

Z = In t.

(Ш.3.10)

где = I 4- i л = q е

Здесь q, 6 - полярные координаты на плоскости . Тогда

Z = х + = 1п (q е) = In q + j 6,

(III.3.11)

откуда, сравнивая действительные и мнимые части, получаем

®

Рис. III. 6.

x=lnQ, y=Q. (111,3.12)

Прямым линиям X = const плоскости Z соответствуют на плоскости I, кривые 1п Q = const, q = const, т. е. окружности с центром в начале координат, а прямым у = const - лучи 0 = const плоскости I, (рис. III, 5),

Следовательно, сетке течения Ф = Ах = const, W = Ау = const на плоскости z соответствует на плоскости t, сетка течения q = const и 0 = const, т. е. при А >0 приток к точечному стоку в начале координат с дебитом q = 2 п А.

Рассмотрим задачу о притоке к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания и решим ее при помош,и конформного отображения.

Возьмем за исходный поток приток к точечному стоку на плоскости :

Р{1) = + С, (III. 3.13)

где С - произвольная константа. Пусть на плоскости z в точке х = О, у = а находится скважина малого радиуса г©, причем ось х является одной эквипотенциалью Ф = Фк, а окружность малого радиуса Гс - другой эквипотенциалью Ф = Фс (рис. III. 6). На плоскости z мы имеем приток к скважине в полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания.

Если удастся найти преобразование = (z) или обратное z = = Z (q, которое реализует конформное отображение верхней полуплоскости ZB круг Q = Qk плоскости , а точку Zc = ia плоскости Z, где расположен центр скважины радиусом Гс, в начало координат = О плоскости , то задача будет решена.

Это И другие преобразования, которые нам потребуются ниже, приведены в любом учебнике по теории функций комплексного неременного и являются простейшими примерами конформных отображений.

В нашем случае искомое преобразование имеет вид:

Z - ia

Z+fO

(III.3. 14)

Действительно, полагая z = ia, из формулы (III. 3. 14) получаем = О, т. е. центру скважины на плоскости z соответствует начало координат = О на плоскости t,.

Точки веш;ественной оси х плоскости z переходят в точки окружности Q = Qk плоскости . Действительно, полагая в формуле (III. 3. 14) Z = X -любому вещественному числу, имеем

x~ia ух + ае „ -i 2arctg -

= Qkттг = Q«----- = QKe (III.3.15)

-. iarctg -

Yx+ae *

откуда следует g = q„.

Таким образом, действительная ось z = х перешла в окружность Qk плоскости , а точка верхней полуплоскости z = ia в начало координат = 0. Отсюда ясно, что формула (III. 3. 14) и есть нужное нам преобразование. Радиусы скважин обеих плоскостей согласно формуле (III. 3. 3) связаны соотношением

Qc =

Отсюда согласно (III. 3.14) получаем

Qc = Qk

{z + ia)~{z~ia) (z + ia)

. Гс = Qk

z=ia

(2iaY

с = Гс. (III. 3.16)

Для комплексного потенциала на плоскости z получаем

z~ia

F{1 (z)] = F,(z) = lnQ„-

+ C =

= 4-In-2л

z-\-ia

+ C,

где С - новая константа, равная

Для дебита согласно формуле Дюпюи имеем

2л(Фк-Фс)

(III. 3. 17)

(III.3.18)