Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [ 85 ] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

§ 2. Вывод формул для притока упругой жидкости к прямолинейной галерее и к точечному источнику на плоскости

Перейдем к нахождению решения основного уравнения фильтрации упругой жидкости (VIII. 1. 8). В случае ограниченной области решение обычно находят методом Фурье, т. е. решение ищется в виде произведения независимых функций р = X (х) Y{y) Z (z) Т {t) с последующей суперпозицией частных решений для удовлетворения начальным и граничным условиям. Ряд решений для ограниченного пласта приведен в [Лт. I. И; 6, 7]. Для бесконечного пласта можно поступить иначе.

Приводимый ниже вывод формул (VIII. 2. 31) и (VIII. 2. 60) для притока упругой жидкости к прямолинейной галерее и к точечному источнику на плоскости несколько отличается от обычного, даваемого в курсах математического анализа и в руководствах по теории теплопроводности.

Интегрирование дифференциальных уравнений в частых производных, к которым принадлежит уравнение (VIII. 1. 8) упругого режима фильтрации, является, как правило, более сложной задачей по сравнению с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений. В уравнениях с частными производными искомая функция зависит от нескольких аргументов, в то время как в обыкновенных дифференциальных уравнениях она зависит только от одного аргумента. Как правило, проще найти функцию, зависящую от одного переменного, чем от нескольких.

В связи с зтим возникает естественная мысль попытаться ввести некоторое новое независимое переменное = {х, у, z, t) таким образом, чтобы уравнение в частных производных

обратилось в обыкновенное дифференциальное уравнение, где искомая функция -давление р -зависела бы только от этого одного нового аргумента .

Непосредственной проверкой можно убедиться, что, например,

для одномерного движения р = р {х, t) при I = xt формула (VIII. 2. 1) обратится в обыкновенное дифференциальное уравнение.

Вывод этой подстановки в руководствах или не дается (читателю предлагается непосредственно убедиться в ее правильности) или дается весьма сложным путем. Относительно проще выводы, основанные на соображениях теорий размерности [Лт. VII. 10, 35].

Из соображений методического характера, а также по существу, целесообразно изложить последовательно замену переменных х, у, Z, t в формуле (VIII. 2. 1) одной переменной , после чего станет

ЯСНО, как следует выбрать , чтобы формула (VIII. 2. 1) перешла в обыкновенное дифференциальное уравнение.

Для этого заменим переменные в уравнении (VIII. 2. 1), не делая пока никаких предположений о характере зависимости = {х, у, z, t).

Начнем с одномерного прямолинейного движения - притока к г.а-лерее (рис. VIII. 2), когда движени> зависит только от одной коорди- yPix.t)

наты X и времени t, р = р (х, t). Уравнение (VIII. 2. 1) принимает вид:

dt dxi

(VIII, 2.2)

Новое переменное также будет функцией X ж Р.\==\{х).

По правилу дифференцирования сложных функций имеем

Рис. VIII. 2. Распределение давления в Пласте при нестационарном притоке к прямолинейной галерее.

др dp dl dt

dl dt

EL dx

dp dl dl dx •

(Vni.2..3)

Выразим теперь вторую производную менную:

через новую пере-

dpdl dl dx

По правилам дифференцирования произведения получаем

(dp] dl , dp dl

Множитель в первом члене

дх dp

дифференцирования сложной функции:

Таким образом, для

J (dp

д"~р

преобразуем по правилу

dp dl

dl

ox dl дх

dx- dp I dl

окончательно имеем

dp dl

(VIII. 2.4)

dx \dx J dl dx

И уравнение (VIII. 2.2) упругого режима согласно уравнениям (VHI. 2.3) и (VIII. 2. 4) принимает вид:

dP д \ dp dl dt I d2

dp dl

dl 5x2

(VHI. 2. 5)

Посмотрим теперь, нельзя ли так подобрать зависимость = = i {х, t), на выбор которой пока не наложено никаких ограничений, чтобы уравнение (VIII. 2. 5) обратилось в обыкновенное дифференциальное уравнение, зависящее от одного аргумента .

Для этого будем искать {х, t) в виде произведения двух функций X (х) а Т (t):

Ux,t)X{x)T{t), (VIII. 2. 6)

каждая из которых зависит только от одного аргумента - соответственно х а t. Тогда

= XT.

дх - " dt

Подставим эти значения в уравнение (VIII. 2. 5):

(VIII. 2. 7)

dp XT

dp 2 XT

dl dp

Ho из уравнения (VIII. 2. 6)

dl dl T

(VIII. 2. 8)

(VIII. 2. 9)

Уравнение (VIII. 2.8), таким образом, можно еще представить

так:

dt% - dl г» ~

(рр у,2 I jdp

(VIII. 2. 10)

Теперь ясно, как следует выбрать функции X (х) и Т {t) (пока произвольные), чтобы уравнение (VIII. 2. 10) обратилось в обыкновенное дифференциальное уравнение от одного аргумента : очевидно, коэффициенты при производных должны быть постоянными или явно зависеть только от одного аргумента , но не от старых переменных х а t. Это достигается при

где а VL b - постоянные.

Из первого уравнения (VIII. 2. И) следует

Хах + Си X" = О,

где Ci - постоянная интегрирования.

Интегрируя второе уравнение (VIII. 2. И), получаем

(VIII. 2.11) (VIII. 2.12)

1 dT