Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

вид:

(Y х) I {yv>v) I д(,уу}г)

"Г я„ "Г

д{ту1 дх ду dz ~ dt

где wx< Wy, иг -проекции вектора скорости фильтрации w на оси х, у, z.

§ 5. Закон изменения количества движения фильтрационного

потока

Второе уравнение получается в результате применения закона изменения количества движения системы к жидкости, текущей внутри трубки тока между сечениями Д и /д.

Согласно этому закону изменение количества движения системы материальных точек за какое-либо время равно суммарному импульсу всех внешних сил, приложенных к системе, за это время. Если время равно единвце, то суммарный импульс внешних сил численво равен их главному вектору.

Закон изменения в единицу времени количества движения для текущей внутри трубки тока жидкости можно записать следующим образом:

+ jQ~mdV = Pi + P + Rn + Rn+W + fi + f, (II. 5.1)

/2 =

- Qdq; /i = (/2) (/1)

Qdg (II. 5. 2)

главные векторы потоков количества движения массовых расходов соответственно в сечениях /а и fi, dg= u;„d/-элементарный объемный расход через элемент площади фильтрации df, где Wn - нормальнан к df компонента скорости фильтрации; Pi и Pg-главные векторы результирующих сил давлений в сечениях f, Яп-главный вектор результирующих сил давления со стороны боковой поверхности трубки тока; - главный вектор нормальных

реакций твердых зерен пористой среды, приложенных к жидкости; W - главный вектор массовых сил, действующих на жидкость, например тяжести, центробежных и т. д. Ti - главный вектор сил трения между жидкостью внутри трубки и боковой поверхностью трубки; - главный вектор сил трения между жидкостью внутри трубки и пористой средой.

При рассмотрении фильтрационных потоков обычно считается, что в каждом элементе объема dV имеется столь большое число твердых зерен, что жидкость и пористая среда в отдельности могут предполагаться сплошными средами.

Устремим расстояние между сечениями к нулю и перейдем к пределу. Перед тем как записать уравнение (II. 5. 1) для этого предельного положения, учтем следующее. Будем считать, как обычно, плотность, пористость и теише-ратуру в сечениях трубки тока равномерно распределенными, а распределение давления - гидростатическим. Для скоростей w/m согласно § 4 главы I этого делать нельзя, так как внутри поровых каналов ввиду вязкости жидкости скорости будут распределены заведомо неравномерно.

Если пористость т от времени не зависит, то

дО ду

-дГ=="Т{

В координатной форме уравнение неразрывности имеет общеизвестный

Qu,ndi= ed/=(l-f?)i/(.) = -i±i-G(.,0, (П.5.4)

(7) (/)

где g -поправка Кориолиса на неравномерное распределение скоростей в выражении проекции потока количества движения, выражаемая известным из курсов гидравлики соотношением [16, 17]

j<di )

J Wndf

(II. 5.6)

где w-средняя в сечении скорость фильтрации.

Для круглых труб, как известно [16, 17], при ламинарном режиме % = /, при турбулентном I х 0,03. Для щелевидных каналов при ламинарном режиме 5 ~ 0,2. Для пористой среды I будет существенно зависеть от формы и распределения размеров сечений поровых каналов и во всяком случае не меньше, чем для одного круглого канала.

Величину I можно связать с распределением размеров пор по их условным радиусам при помощи формулы (II. 5. 5) и кривой рис. I. 4.

Поток количества движения в единицу времени через одну пору можно представить в виде

Ji = (i + l)oQgm- (II. 5. 7)

Индекс О относится к одной поре, д{, uj -соответственно расход и средняя скорость для одной поры.

Поток количества движения через всю площадь фильтрации будет с учетом формулы (1.4.3) и (1.4.4) равен

(1 + 5)о Q 2 "iА = (1 + Q ЛТГТ Т S

где h = Hi-Н2 - потеря напора на длиной. (II. 5.9)

Поправка Кориолиса для всего потока выражается по определению формулой

qQw qQ I gh

Л V I

Запшпем теперь, имея в виду сделанные замечания, уравнение (II. 5. 1) в проекции на ось s для предельного положения, когда расстояние между сечениями /i и /2 равно ds:

ds+l(Qw)f(s)ds=~dP+ (dfl„ ),+ (dR), + dW,- dT- dT, (11. 5. 3)

44 Гл. II. Дифференциальные уравнения фильтрации однородной жидкости Переходя к непрерывному распределению размеров пор, получаем

со оо

J гб V (г) dr г2 V (г) dr

1 + ? = (1 + Юо--55-- • (II. 5. И)

[/ r«v(r)dr]2 О

Таким образом, в пористой среде в отличие от движения в трубах поправка Кориолиса в выражении потока количества движения зависит не только от формы отдельного канала, но и от распределения размеров всех каналов, слагающих живое сечение фильтрационного потока.

Ограничимся случаем, когда массовой силой является сила тяжести и ось z направлена вверх (рис. II. 1, а). Величины, стоящие в правой части формулы (II. 5. 3), с точностью до малых второго порядка имеют, как нетрудно видеть, следующие значения:

dP = d\pmi(s)], (II. 5. 12)

{dRn)s = Pd[mf(s)], (II. 5. 13)

dWs=-ymi(s)ds.~ , (II. 5. 14)

(d<). = 0. (II. 5. 15)

Последнее уравнение получается согласно условию о равномерном квазинепрерывном распределении твердых зерен внутри элемента / (s) rfs. В этом случае главный вектор их нормальных реакций равен нулю.

Другой приведенный ниже вывод условия (II. 5. 15) был предложен

В. М. Ентовым и основан на прямом расчете силы (di?)s. Величина (dHs складывается из приложенных к жидкости внутри элемента проекций на направление S нормальных реакций твердых зерен и может быть с точностью до малых второго порядка разбита на четыре части.

1. Проекции реакции твердых зерен, рассеченных сечением s. Эта часть равна

(l-m)/(s)p. (а)

2. Проекции реакции твердых зерен, рассеченных сечением s -f ds. Эта часть равна

(l-m)/(s)p-f A[(l-m)/(s)p]rfsj .

3. Проекции реакции твердых зерен, рассеченных боковой поверхностью трубки. Эта часть равна

Pd[{i-m)f{s)]. (с).

4. Проекции реакции остальных твердых зерен, находящихся внутри трубки. Очевидно, проекция на ds результирующей силы давления, действующей со стороны жидкости на эти твердые зерна, равна - (1-™)/ (s)ds,

где (1 - т) f (s) ds - объем зерен. Соответственно реакция зерен, приложенная к жидкости, протпвоположна этой силе и равна

(l-)/(s)rfs. (d)