Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

v = -

Рассмотрим случай, когда массовой силой является сила тяжести (рис. 11.1, а). Согласно (П. 2. 2) уравнения (ii. 2. 7) будут иметь вид:

к др к др

"~ а дх ~йГ ду

k /др . „ ("-.s)

При больших скоростях фильтрации, например, в случае мощного взрыва в пласте нужно оставить левые части уравнения (П. 2. 4), что требует более подробного рассмотрения [9, 10].

При движении, не следующем закону Дарси, массовые силы сопротивления Хг, Уз, являются нелинейными функциями компонентов скорости фильтрации. Дифференциальные уравнения для этого случая составлены Л. С. Лейбензоном [Лт. i. 6, 7]. Решения для одномерных стационарных течений в трубках тока переменного сечения, как было сказано выше в § 2-3 главы i, могут быть получены без принципиальных затруднений. Методы решения для некоторых неодномерных течений, не следующих закону Дарси, указаны С. А. Христиановичем [11], В. В. Соколовским [12] и Ф. Энгелун-дом [Лт. i. 21].

Приведем некоторое преобразование уравнений движения, предполагая параметры жидкости зависящими от давления.

Предположим, что поле массовых сил имеет потенциал U (х, у,

Z, t), т. е. вектор массовой силы Fi с проекциями Xi, у1, может быть представлен в виде

F = -giadU (ii. 2.9)

или в проекциях на оси координат

x. = --,y. = -.z, = -. (ii.2.10)

Пусть для общнссти проницаемость к, вязкость р и плотность q являются известными функциями давления р, к=к{р), р = р (р), q = q(p). с учетом уравнений (ii. 2. 7), которые умножаем на Q (р).

Таким образом, уравнения движения жидкости в пористой среде имеют следующий вид:

И (П. 2.10) ДЛЯ проекций массовой скорости фильтрации q ц, qi;,

QW получим

\k(p)Q(p) др к(р) qMp) dU дх

QV = - QW= -

к{р)а(р) dp k{p)Q(p) du

H(P) dy ix(p) dy

k(p)Q(p) dp , к(р)аНр) dU

(II. 2. 11)

i(p)

fA(P)

Форма уравнений (II. 2.11) наводит на естественную мысль ввести две функции давления:

Ф = Ф(Р) = /Й/, в = в(р) = -(. (II.2.12)

Очевидно, при отсутствии массовых сил Ф = Ф (р) является потенциалом массовой скорости фильтрации.

Л. С. Лейбензон в теории фильтрации газов впервые ввел аналогичную функцию. Поэтому Ф {р) будем называть обобщенной функцией Лейбензона для сжимаемой однородной жидкости.

Уравнения (П. 2. И), как нетрудно видеть, принимают вид:

дФ ди

QV= -

I дФ , г. ди

(дФ , а, dU

dzj- 2.13)

Действительно, по определению интеграла из (П. 2.12) имеем

l-i (р)

а из формулы полного дифференциала для йФ и dp получим dФ = dx + dy + d. + dt =

k{p)Q(p)

d. + dy + d. + dt

Из произвольности дифференциалов dx, dy, dz, dt следует, что коэффициенты при dx, dy, dz, dt равны. Отсюда согласно (II. 2.10) немедленно вытекает справедливость уравнений (П. 2.13).

Подставляя (П. 2.13) в уравнение неразрывности (П. 1.1), получаем

дУ dz

дУ дх

(П. 2.14)

dp, (П. 2. 16)

а при постоянных ц (р) = ц = const, к{р) = к = const

0 = yjy{p)dp = , (П.2.17)

где через Р обозначен итеграл

Pfy{p)dp, (II. 2. 18)

иногда называемый функцией Лейбензона для однородной сжимаемой Жидкости.

Пользуясь уравнениями состояния (II. 1. 3) и (П. 2. И), из дифференциального уравнения (II. 2. 14), вообще говоря, можно получить, смотря по желанию, дифференциальное уравнение для одной из функций Ф, р, Q. Например, для функции Ф имеем из соотношения (II. 2. 12) Ф = Ф (j>). Разрешая последнее уравнение относительно р, получаем р = р (Ф) и затем т = т (р) = = т [р(Ф)] = m (Ф), Q = Q (р) = Q [р (Ф)] = Q (Ф), 0 = 0 (р) = 0 [р (Ф)] = = 0(Ф). Таким образом, уравнение (II. 2. 14) может быть записано в виде соотношения только для одной функции Ф и аналогично для р и Q. Это соотношение в общем случае приводит, как видно, к весьма сложному нелинейному, как правило, дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных параболического типа. В некоторых случаях, как будет показано ниже, оно может быть линеаризовано и сведено к обычному уравнению теплопроводности. В общем же случае задача оказывается весьма сложной. При установившемся течении, пренебрегая массовыми силами, из (П. 2. 13) для Ф получаем уравнение Лапласа

УФ = 0, (П. 2. 15)

которому удовлетворяет давление при фильтрации несжимаемой жидкости постоянной вязкости в неизменяемой пористой среде с постоянной проницаемостью. Таким образом, решения, полученные для задач фильтрации несжимаемой жидкости, обобщаются, как указано также в книге Г. Б. Пыхачева [Лт. I. 8], на аналогичные условия движения сжимаемой жидкости, причем, как легко видеть,

величина заменяется обобщенной функцией Лейбензона Ф, а объемная скорость фильтрации w - массовой скоростью фильтра-

ции Q w.

Можно вместо массовой скорости фильтрации q w определять весовую скорость фильтрации у w = g q w. Потенциал весовой скорости фильтрации в этом случае будет

к(р)у(р)