Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

должен быть заменен рис. VII. 33, б, где ось у направлена вниз, а под Ау подразумевается разность объемных весов более тяжелой и легкой жидкостей, т. е. Ya - yi- При Ay = О получается задача, рассмотренная А. М. Пирвердяном [16].

Введением безразмерных переменных

I kAyh mpi

уравнение (VII. И. 1) приводится к безразмерному виду

(VII. 11.3)

Ро9 К*

тНух [1 + ((Ао-1)"]" dl 4 2 dl

1 + (Ро-1)" dl

-0.(0-

(VII. 11.4)

11)1) /11111

Рис. VII. 33.

Рассмотрим случай, когда расход q = q(t) изменяется по закону

9=-. (VII. И. 5)

У у. t

где некоторая постоянная. Тогда (VII. И. 4) обращается в обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

I л 1 , d Г " (1 -и) du

2 [l-f-(Po-l)"]

du d dl +d

"(1-")

l-f-(Po-l)" dl

= 0. (VII. 11. 6)

вид:

Здесь безразмерный постоянный коэффициент а согласно (VII. И. 5) имеет

a==lllL, (VII. И. 7)

ткУх. ПУ

Умножим сначала уравнение (VII. И. 6) на dl и проинтегрируем в некоторых пределах от = о ДО 1 = 1>гдеоИ 1\ - пока любые величины. Получим

1-Г . г du dl г и(\~и) du-

2 J dl J dni+(ji„ l)u]2 L l + (p„-l)u dl lo lo

u(l-u)

= 0.

I=li (VII. 11.8)

Здесь второй интеграл вычисляется в конечном виде, первый интеграл преобразуется интегрированием по частям.

В результате соотношение (VII. 11.8) можно представить так:

u{i~u)

l + (io-l)» dl

1 + (Мо-1)"о u (1 - и) du

l + (Mo-l)"i

= 0, (VII. 11. 9)

где Uo="(lo); "i = »(li).

Пусть теперь Ig и li будут безразмерные абсциссы точек А л В пересечения границы раздела (рис. VII. 11.33, а) с подошвой и кровлей в пласте, т. е. согласно (VII. 11.3) имеем

»o="(U = 0, »i=»(i) = l.

Тогда из (VII. И. 9) и (VII. 11. 3), предполагая и(1 -и) - = 0 в точках и =

= 0, и=1, получаем

udl~

(VII. 11.10)

Отметим, что бесконечное значение первой производной и = duldl = оо согласно уравнениям движения (VII. 10. 7) и (VII. 10. 9) соответствует бесконечной скорости фильтрации и, таким образом, при i О исключается и» рассмотрения.

Нетрудно показать, что уравнение (VII. 11. 10) есть просто уравнение материального баланса для вошедшей жидкости 1, когда при i = О начальная граница раздела является вертикальной плоскостью i = 0.

Таким образом, задача сводится к нахождению некоторой интегральной кривой для уравнения (VII. 11. 6), проходя1цей через неизвестные точки I = go, u = 0 vi 1 = li, tt=l при выполнении условия (VII. И. 10).

В этих точках можно найти, вообще говоря, производные всех порядков последовательным дифференцированием самого дифференциального уравнения (VII. 11. 6), которое представим в развернутом виде:

и(\-и)и + u](i~2u)-(u~u)(y.g~i)

14-(Мо-1)"" [1 + (Мо-1)"]

[1+(Мо-1)

и=0.

(VII. 11.11)

Из (VII. 11. И) можно найти первые производные и и в точках s = o» tt = 0, l = li, u=i, считая

l = lo- " = 0, lim(uu") = 0, l = li u=l, lira (1 -u) u" = 0. l = lo, "0, u =a -

5o 2

(VII. 11.12) (VII. 11.13)

(VII. 11.14)

Дифференцируя (VII. И. 11) по для второй производной в точке 1 = 1о< и = 0, после упрощений, считая также lim(uu") = 0 при = 5о> " = 0, получаем

Ро-1

(VII. 11. 15)

Дальнейшее решение задачи можно получить следующим путем. Зная параметры а и ро, задаемся некоторым значением (o)i. Условия (VII. И. Ii) и (VII. И. 15) позволяют выполнить численное интегрирование уравнения (VII. И. 6).

После выполнения численного интегрирования нужно по найденному первому приближению и () вычислить левую часть соотношения (VII. 11. 10):

I»

Ф do) = ll + / udl.

Меняя lo, можно добиться выполнения условия (VII. И. 10). Контролем может служить выполнение уравнения (VII. 11. 14). Зная форму границы раздела, можно легко определить перепад давления между любыми двумя сечениям. Из уравнений движения Дарси для первой и второй жидкостей в ка-

ком-либо сечении для производной давления -i-

вдоль подошвы получается

формула

др дх

Ay{h~y) ду

ft-f (ро-1) дх

(VII. 11. 16)

Пусть начальное сечение будет г = 0. Тогда, учитывая (VII. 11. 3), (VII. И. 5), (VII. И. 7) в зависимости отположения второго сечения, из (VII, 11. 16) получаем (рис. VII. 33, а):

при О < I < ll, u=l

piO, t)~p{x, t)

Ayh Po

при ll < g < f 0. 0 < u < 1

p(0, t)-p{x, t) a Ayh p„

li4-Po

(Po-1)"

Po In

l-f(Po-l)"

14-(Po-l)"

-(p„-l)(l-«)

(VII. 11. 18)

В частности, при Po = 0, l = li безразмерная потеря давления на напорном участке течения, занятом жидкостью 1, равна

Ро-*

(VII. И. 19)

Таким образом, зная lo, li, и (I), можно произвести все расчеты. Параметр а для реальных условий, когда условие (VII. И. 5) в точности не выполняется, можпо оценить для заданного интервала времени Т по известному на единицу длины галереи суммарному объему закачки жидкости 1 W, условно считая, что за это время W (t) изменялось по закону t

W{t)= q{t)dt =

2q,h Vt

, W = W(T):

,2%hXIo Vx •

(VII. 11.20)