Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [ 107 ] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

бф----

1-3-5) должно определяться по аналогии с соответствующей задачей газовой динамики Щ] из условия равенства площадей сегментов 1-2-3 и 3-4-5 по обе стороны скачка, т. е. прямой 1-3-5 [Лт. VIII. 29; 12].

В действительности, конечно, математический скачок насыщенности не имеет места - существует некоторая конечная длина б (рис. IX. 7), на которой насыщенность падает от значения Оф до нуля перед фронтом. Однако эта иногда называемая стабилизированной зоной длина б, размеры которой зависят от не рассматриваемых здесь

капиллярных эффектов, обычно мала (5 по сравнению с возрастающей со вре-

менем зоной смеси 1 -\- 2 (рис. IX. 7) и в ряде случаев остается постоянной. Излагаемая ниже теория дает вполне удовлетворительные результаты для зоны смеси 1 -\-2. Рассмотрение же насыщенности на участке б требует учета капиллярной разности давлений, о чем будет сказано в § 6.

Переходная зона б аналогична толщине скачка уплотнения в газе. Как известно [Лт. П. 13; 11], в газе толщина ударной волны равна обычно нескольким длинам свободного пробега молекул и практически может рассматриваться, как равная нулю.

В нашем случае двухфазной фильтрации мы принимаем 6 = 0 для упрощения последующего анализа. Баклей и Леверетт не указали аналогию этой задачи с задачей Римана, но они правильно дали метод определения координаты скачка из условий материального баланса.

Пусть жидкость 1 начинает вытеснять жидкость 2 (рис. IX. 7). Объем первой фазы в переходной зоне OA определяется следующей формулой:

Fl = m J adx, о

Рис. IX. 7. Распределение насыщенности при вытеснении в пористой среде.

(IX. 2. 10)

где Хф - координата фронта или скачка.

Начальный объем первой фазы в этой зоне

(0) = Г та (х, 0) dx. о

В этом случае формула (IX. 2.8) примет вид: Из (IX. 2.13) имеем

х = -/((т). (IX. 2.13)

dx-f"{a)da. (IX. 2. 14)

Подставляя (IX. 2.14) в (IX. 2.12), получаем

wtj а wtf" (а) do- = u>f (Пф) - ф (По)],

(п) = / о- /" (а) do = af (а) -f{a) + const;

Пф - фронтовая насыщенность; а„-насыщенность в сечении х = О, т. е. в нашем случае Gq - \ .

Учитывая согласно (IX. 2. 6), что /(!) = !, /(1) = 0, получаем

wt = wt [Оф / (Пф) - / (Пф) -\- 1 ]

Оф/Ы -/(о-ф) = 0. (IX. 2.15)

Фронтовая насыщенность Пф определяется этой формулой. Среднюю насыщенность Пср в переходной зоне можно определить по формуле

(Тер ==-ттЦ-• (IX. 2. 16)

-Р тхф /(Оф)

В момент времени t объем первой фазы в этой зоне будет

Vl(t) = J та(х, t)dx. "о

Далее, в течение времени t через начальную границу 1 = 0 втекает первая жидкость, объемное количество которой будет равно Wit = wt. При этом предполагается S (х) = S = 1.

Очевидно, что

wt = J та(х, t)dx - J ma{x,0)dx. (IX. 2. И) о о

Для простоты пусть Fi(0) = 0, т. е. в начальный момент времени участок OA полностью заполнен второй жидкостью. Тогда имеем

«Ф

wt = J ma{x,t)dx. (IX.2.12)

Легко видеть, что фронтовую насыщенность и среднюю насыщенность можно определить геометрически следующим образом.

Проведем из начала координат касательную к кривой / (о). Величины а для точки касания А и точки В суть фронтовая насыщенность и средняя насыщенность соответственно (рис. IX. 8, а).

Нетрудно видеть, что найденная таким образом фронтовая насыщенность Оф (рис. IX. 8, а) совпадает с насыщенностью, которая получится, если устра-

d0 бср

Рис. IX. 8.

нить двузначность функции / (о) сечением ОФ (рис. IX. 8, б), определяемым из условия равенства заштрихованных площадей 0010 и 1АФ1. Действительно, из рис. IX. 8, б следует

Сравнивая правые части этих формул, получаем /(Оф, ) = СТф / (Оф/ ),

(*) (**)

(***)

что совпадает с формулой (IX. 2. 15). Таким образом, Оф = Оф/ , что и требовалось доказать.

При обычных кривых относительных фазовых проницаемостей средняя насыщенность Оср, как правило, значительно меньше единицы. Поэтому, например, в процессах вытеснения нефти водой для достаточно полного извлечения нефти из пласта на единицу объема добытой нефти нужно затратить в несколько раз больше объемов воды.

Из формулы (IX. 2. 16) и рис. IX, 8, а для функции / (а) следует, что фронтовая насыщенность Оф = ч средняя насыщенность Оср =