Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Аналогично тому, как составлено комплексное неременное z = X -\- iy, составим новую комплексную функцию Ф (х, у) + + {X, у).

Возникает следующий вопрос: можно или нельзя представить эту функцию в виде некоторой функции комплексного неременного F (Z) = F (х + iy)?

Не всякая комплексная функция М {х, y)-\-iN(x, у), где -Л/ (х, у), N {х, у) - произвольные функции двух неременных х ж у, будет функцией комплексного неременного z = x-\-iy. В том, что это так, можно убедиться на очень простом примере.

Возьмем функцию F{z) = z = {х +- iy\)\ Раскрывая квадрат суммы, получаем

F iz) = z"" = х - у Цху.

Таким образом, если взять две функции

М {х, у) = х- у\ N {X, у) = 2ху,

затем составить комплексную функцию М (х, у) + iN (х, у) = ~ х - у -\- i2xy, то в данном случае мы «экспериментально» убедимся, что эта функция х - у + 12ху действительно является функцией комплексного неременного z = x-\-iy.

А теперь возьмем и «испортим» какую-либо из этих функций, например, положим (х, у) = х -\- у.

Если составить теперь функцию Mi (х, у) + IN (х, у) ~ х -\-+ у + i2xy, где одна из этих функций «испорчена», то такой комплекс уже не будет функцией комплексного неременного z = х+ iy.

Оказывается, что уравнения (1П. 1.10) являются необходимым и достаточным условием для того, чтобы комплексную функцию Ф(х, y)-\-i(x, у) (где Ф - потенциал скорости; ¥ - функция тока) можно было рассматривать как функцию комплексного неременного Z - X -\- iy.

Важность этого обстоятельства заключается в том, что функции, зависящие от двух неременных х ж у, заменяются функцией, зависящей формально от одного неременного z = х -\-iy.

Чтобы доказать, что Ф + J Ч является не просто комплексом, а функцией комплексного неременного, обратимся к уравнениям Коши - Римана (HI. 1. 10). При этом будем рассуждать так: если Ф 4- г ¥ является функцией комплексного неременного z = х -\-iy,

Ф{x,y) + i(x,y) = F(z). (III. 1.12)

TO, следовательно, производная - должна иметь одно и то же

значение независимо от закона стремления Az -> 0.

Имея это в виду, продифференцируем уравнение (III. 1. 12) но х. Учитывая правило дифференцирования сложных функций (а также.

ЧТО Z = Ж + iy), получаем:

dz . dz .

, . dP dF dz dF /ттт л

-d + -d7 = --- (П1.1.13)

Продифференцируем теперь уравнение (III.1.12) по у:

dФ . dj dF dz . dF dy dy dz dy dz

Разделив последнее уравнение на i, получим

4 = J + = £. (Ш.1.14)

dz i dy dy dy dy

Таким образом, из уравнений (III. 1.13) и (III. 1.14) следует

dF аФ , . dv dp . dФ ,

-5- = --f i-- = ---1-5-. (III. 1.15)

dz Ox dx dy dy

Сравнивая в уравнении (III. 1.15) действительную и мнимую части, получаем уравнения Коши - Римана

5Ф dW dф dP

dx dy ду dx

полностью совпадающие с уравнениями (III. 1. 10).

Следовательно, если взять любую функцию комплексного переменного

F(z) = F(x + iy)

и отделить в ней действительную часть Re F(z) от мнимой lmF{z), то можно трактовать действительную часть, как потенциал некоторого плоского фи.11ьтрационного потока, мнимую часть - как функцию тока этого течения:

ReF(z) = Ф(a;, у), lmF(z)W(x, у).

Приравнивая действительную часть постоянной величине, получаем семейство эквипотенциалей:

Ф(х, у) = const.

Приравнивая мнимую часть другой константе, получаем семейство линий тока W (х, у) = const.

1 Re F (z) - обозначение действительной части функции комплексного переменного F (z); Im F (z) - обозначение ее мнимой части. Символы Re и Im являются первыми буквами французских слов «действительный» (reel) и «мнимый» (imaginaire).

= --=ь (III. 1.18)

Совершенно аналогично найдется из второго уравнения (III. 1. 17) и угловой коэффициент к касательной к линии тока:

=-=- (III. 1.19)

W= const

Из уравнений Коши - Римана следует, что 12 = - 1. Действительно, учитывая (III. 1.10), получаем

кхк -

что (как известно из аналитической геометрии) имеет место для прямых, пересекающихся под прямым углом. Таким образом, линии тока будут пересекать эквипотенциали под прямым углом.

Таким образом, каждой функции комплексного переменного можно сопоставить некоторый плоский фильтрационный поток. Зная функцию комплексного переменного F {£) = Ф {х, у) + -j- iW {х, у), Z = X -\- iy, называемую характеристической функцией течения или комплексным потенциалом, сразу получаем всю картину движения: семейство эквипотенциалей, семейство линий тока и поле скоростей.

Теория функций комплексного переменного в настоящее время имеет широчайшее применение в гидродинамике, аэродинамике, теории фильтрации, теории упругости, теории электричества и теплоты и т. д.

Докажем, что линии тока и эквипотенциальные линии образуют ортогональную сетку, т. е. каждая пара кривых этих двух семейств пересекается под прямым углом (рис. III. 1).

Уравнения эквипотенциалей и линий тока имеют вид:

Ф (z, г/) = const, W {х, у) = const. [(III. 1.16)

Отсюда

.х + * = 0, + 4,, = 0. (Ш..Л7)

Угловой коэффициент (\ = касательной к эквипо-

\"/ф= const

тенциали определяется из первого уравнения (III. 1.17):