Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

S 5. Закон изменения количества движения фильтрационного потока 45 Складывая указанные четыре величины, получаем

Величины dTjj и dT имеют разные порядки малости: dT - сила трения вдоль боковой поверхности элемента / (s)ds - несравненно меньше суммарной силы трения между жидкостью и пористой средой внутри трубки.

Таким образом, правая часть формулы {II. 5. 3) приводится к выражению

~d[pmf + pdlmf(s)]-y mf (s) ds -dT =

= ~dp-mi(s)-pd[mi {s)]+pd [m/ (s)] - Y mf (s) ds ~dT =

= ~dsmf{s)-ymf(s)ds §-~dT. (II.5. 16)

Уравнение (11.5.3) после сокраш;ения на ds принимает вид:

-G(M) g m

Силу трения следуя Н. E. Жуковскому, будем рассматривать

как объемную или массовую силу сопротивления i.

Предполагая движение следуюш,им закону Дарси согласно (II. 2. 6) и учитывая, что величина этой силы, отнесенной к единице массы жидкости, равна и W

~-, получаем

dT„ = mf (s) ds = -ii mf {s)ds. (11. 5. 18)

к Q к

Как упоминалось выше (§ 3, гл. I), при нарушениях закона Дарси природу сопротивления ближе всего описывает двучленный закон (I. 3-8), который целесообразно представить в виде

dpjw

ds к а \ w\

где - безразмерный коэффициент, зависяш,ий от геометрии пористой среды и в слабой степени от числа Рейнольдса фильтрационного потока. Однако, судя по фактическим индикаторным кривым скважин дебит - депрессия, превосходно, как правило, согласующимся с двучленным законом фильтрации, в практических задачах может считаться для данной пористой среды постоянным, т. е. от числа Рейнольдса не зависящим. Величина о в ( П. 5. 19) означает

1 Можно отметить, что в работе [24] силу трения И. Е. Жуковского, отнесенную к единице массы жидкости, предлагается писать с лишним множителем

- в виде - -. Нетрудно видеть, что при этом нарушается правильный т т к Q

вид уравнений Дарси (П. 2. 7). В результате такого представления силы трения инерционные члены уравнений фильтрации в работе [24] отличаются от

обычной правильной записи, как, например, в [2 ], отсутствием множителя --

(11.5. 20)

где Q -удельная поверхность пористой среды в -=- , т. е. суммарная поверх-

ность твердых зерен в единице объема - одна из геометрических характеристик пористой среды [ЛТ. I. 3, ЛТ. I. 13]. Согласно (II. 5.18) и (II. 5.19) при двучленном законе следует положить

к а

mf (s) ds.

(П. 5. 21)

Заметим, что отношение dT

mf (s) ds

(II. 5. 21a)

можно рассматривать как силу трения, отнесенную к единице объема жидкости. Эта же сила, очевидно, равна и противоположна объемной силе трения, приложенной к твердым зернам, находящимся внутри этого единичного жидкого объема. Единичный объем жидкости размещен внутри суммарного объема пористой

среды, равного - и содержащего объем твердых зерен --. На этот объем тверда т

дых зерен и действует сила (II. 5. 21а). Отсюда сила трения, приложенная к единице объема твердых зерен пористой среды, равна

1 -m

mf (s) ds m

l - m

к a \w\

(II. 5. 216)

Результирующая же нормальных сил давления, как было показано выше, равна нулю [уравнение (е)].

Если требуется составить уравнения движения или равновесия самой пористой среды, кроме напряжений, существующих в скелете, в число действующих на твердые зерна сил следует включить действующую со стороны жидкости объелшую силу трения (II. 5. 216). Закон импульсов (II. 5. 17) для фильтрационного потока в трубке тока можно представить в виде

1+1 g т

G {s, t)

д low) ,, dp ,, J , dz

vy >fs)=:--Jmf{s)~ymf{s)--

mf{s).

(II. 5. 22)

Формулу (II. 5. 22) можно несколько преобразовать, как это часто делается, используя уравнение неразрывности (II. 4. 3). Выполняя дифференцирование,

характерный линейный размер пористой среды, который разные авторы определяют по-разному. Например, Маскет, Линдквист [Лт. I. И] полагают а = = <эф - эффективному диаметру твердых зерен, М. Д. Миллионщиков [Лт. I. 12] полагает а = УкГт, Д. М. Минц [Лт. I. 13], Коцепи и другие [Лт. I. 3] полагают о равным гидравлическому радиусу площади фильтрации, т. е. а - = mf/U, где П - суммарный смоченный твердый периметр живого сечения. Так как пористая среда предполагается статвстически однородной, то в пределах объема dV площади и периметры всех живых сечений одинаковы. Отсюда следует часто применяемое представление а в виде

S 5. Закон изменения количества движения фильтрационного патока 47

учитывая (II. 4. 3) и считая для простоты пористую среду недеформируемой и, следовательно, пористость не зависящей от времени, получаем

G (S, t)

i + l w

g m

i 1 + g w dG (y dw w dy , ,, .

mfis)--ymf(s)-~l + Qw

mf (s).

Левую часть последнего уравнения можно представить так:

G (S, О

1 + 1 W

= G(s, t)

g m d

i+l IP

g m

Формула (II. 5.22) примет вид:

G (s, t)

1 + 1 w

g ni

или, сокращая на у mf (s),

w d

m ds

1 \ml

g m j g m у dt g 1 dp dz i /\iw t,

у ds ds yI"" I""!

dt w

(II. 5.23)

w i dy

Член ----представляет собой часть потока импульса, обусловленную неравномерным распределением скоростей и сжимаемостью жидкости.

При 1 = 0 -равномерном распределении скоростей-и т = 1 формула (II. 5.23) дает обычную запись закона импульсов для струйки сжимаемой жидкости. При g = 0 и m < 1 (II. 5.23) представляет собой уравнение Эйлера для одномерного фильтрационного потока.

В координатной форме получаем три уравнения, являющиеся обобщением уравнений Эйлера - Жуковского:

1 dw j gm dt т

(i + l Wx

* dx

I Wx dy g m у dt

g rn

i + l Wx\

g m

d I i + l Wx

L-LltM+Low

у dx y \ a

i dwy \ gm dt m

I i+l Щ

* dx

I Щ i dy g m у dt

m l + y dy

g ml+i

d I i + l Wy

у dy y\ к a

1 dWj 1 gm dt m

dli+l ..

j uj ау м ap \ i

g m у dt \ydz j у

-- о w a

. (II. 5.24)