Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Уравнение (П. 7.12) теперь можно представить в виде

У cpw

-[1-р(р, T)T]ycpW- + AmT(p,T) =

= -[1-р(р, T)T]w + AmT(p, Т)

(II. 7. 14)

Из (II. 7.13) следует, что для капельных жидкостей с незначительным коэффициентом объемного расширения

е . (II. 7. 15)

Для воды, например, учитывая, что в этом случае Ср«1 ккал/кГ°С и

Y = 1000 кГ/м»,

s-1-ds

427 • 1 • 1000

0,02 °С/ат.

Рис. II. 3. Схема течения при бесконечно близком расположении входного и выходного сечений трубки тока переменного сечения.

Для нефтей е по порядку величины будет в несколько раз больше 0,05-0,03 °С/ат.

Формулу (П. 7.14) можно еще представить в виде, допускающем ее чрезвычайно простую физическую интерпретацию:

дТ , дТ Ур"-Г+-дГ

-}-АтТ&{р,Т)

др dt

(II. 7. 16)

Если жидкость несжимаема, Р (р, 7") = О, то второй и третий члены в правой части (II. 7.16) обращаются в нуль и (II. 7.16) принимает вид:

дТ дТ . др

ypt- + C - Aw.

(II. 7. 17)

Формула (II. 7. 17) выражает тот очевидный факт, что тепло, в которое обращается работа трения при фильтрации несжимаемой жидкостив адиабатически изолированной трубке тока, целиком расходуется на нагревание жидкости и пористой среды.

Не представляет труда пепосредственный вывод этой формулы из указанного выше соображения. Возьмем два сечения трубки тока s и s 4- ds (рис. II. 3) с объемным расходом Q. Если отбросить силы инерции ввиду малых скоростей фильтрации, то силы давления и трения в каждый момент равны и противоположны между собой, а работа сил давления численно равна работе сил трения.

Работа сил давления за время dt равна dsQdt= ~ dsf (s)w dt.

чему соответствует ее значение в тепловых единицах- Awf (s) ds dt. Выделившееся тепло в этом количестве плюс тепло, вносимое путем конвекции, израсходуется на нагревание жидкости и скелета пористой среды, которое можно определить следующим образом. Тепло, вносимое путем конвекции, равно

ycpQ

T(s, t)-

dt=-ycpQ-dsdt. Таким образом, учитывая,

Y Cpw С др

Рассмотрим первое уравнение системы, предварительно представив его в виде

/ (s) ds dt ycpQ С

откуда находим первый интеграл, полагая для простоты физические константы неизменными и = const:

(s)ds = YM!+(const)i

или, вводя обозначепие для объема V (s) трубки тока,

V--=V(s)= / f(s)ds, (II. 8. 2)

V- =(const)i. (II. 8.3)

что жидкость занимает объем нор в трубке mf{s)ds, а твердый скелет-объем <1 - т) f (s) ds, получаем

- Awj (s) -jdsdt - y CpQds Л = [m у Cp + (1 - m) Yi Ci] / (s) ds dt

или, сокращая на / (s) ds dt,

, dp Q дТ , , , , dT

Aw YCpy = [mYCp + (l-m)YxCxl- ,

что совпадает с (II. 7.17).

Если жидкость сжимаема, то при расчете изменения температуры следует «ще учесть эффект нагревания при сжатии, в результате чего можно прийти к уравнению (II. 7. 14).

Вывод уравнения энергии в несколько другой форме, нежели выше, предложен Э. Б. Чекалюком в работах [.5, 6, 25].

§ 8. Примеры практического использования уравнения энергии для непзотсрмической фильтрации

Э. Б. Чекалюк предложил использовать связь между изменением температуры и давлением, выражаемую формулой (II. 7. 12) без члена с dp/dt, для исследования призабойной зоны водяных или нефтяных скважин [5, 6]. Ниже в несколько другом виде, нежели в 15, 6], излагается супп!Ость предложенного им метода.

Проинтегрируем уравнение (II. 7. 12] обычным методом характеристик, применяемым для уравнений первого порядка в частных производных, для чего «оставим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих уравнению (II. 7. 12):

(II. 8.1)

T(V,t)-T„ AT{V,t)

= p(f-)-p(F). (II. 8. 9)

Таким образом, начальное распределение давления р (F) позволяет определить последующее изменение температуры в любом сечении V, в любой момент времени по разности ординат одной фиксированной кривой р {V) в точках F = Fi и F=:F2 = Fi-- .

Второй частный интеграл получим из уравнения ds dT

ycpw ~ ар

-ds = . (И. 8.4)

При фильтрации капельной жидкости с постоянным расходмл Q распределение давления можно считать практически установившимся, т. е. полагать p = p(s). Тогда (И. 8.4) можно представить в виде

dT

p-b- = /)(s)-b-Ai). = (const)2. (II. 8. 5)

Общее решение уравнения в частных производных можно представить в виде ф [(const)i (const)2] = 0. где ф-произвольная функция или, что для наших целей удобнее,

(сопз5)з = <]з [(const)i], p(.) + il = (F-V). (II.8.6)

где i]?-произвольная функция аргумента разности F -- .

В связи с этим удобнее от переменной s перейти к объему V (я), имея в виду формулу (II. 8.2):

p(F) + = (f-I). (II.8.7)

Вид функции ¥ устанавливается из начальных условий задачи. Пусть жидкость ранее покоилась и температура в ней была всюду постоянна и равна То. Пусть в момент г = О начинается движение с расходом и в трубке устанавливается практически стационарное распределение давления р (s) или, что то же, р (V).

Тогда из решения (II. 8.7) имеем

Р(П + =(П- (II.8. 8)

Теперь вид функции гз установлен - он совпадает с распределением давления p(V). Из (II. 8.7) и (П. 8. 8) получаем