Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [ 94 ] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

тегрального соотношения - баланса массы - и рассмотрено несколько задач нестационарной фильтрации с неподвижными и подвижными границами.

1. Умножим, как это делается при выводе интегральных соотношений, дифференциальное уравнение упругого режима радиальной фильтрации

на г" {ге = 0, ±1, ±2,. . .) и проинтегрируем в пределах от г=/?о до r = Ri, где Rq, Ri-произвольные величины, постоянные или функции времени,

Получим

(VIII. 6. 2)

Но (<) Но (<)

Пусть при t = 0 распределение давления было стационарным:

Р{г. 0) = Рст{-), (VIII. 6.3)

причем V" Рст = 0.

Введем разность (возмущение)

и = р{г. t)~p{r, 0) = р(г, t)~pcj(r).

(VIII. 6. 4)

Так KaKxV2" = -, то для и также справедливо соотношение (VIII. 6. 2)

Hi(<)

I ди . ,

Но (О

Обозначая объемный расход

Ro(.t)

ди dt

(VIII. 6. 5)

(VIII. 6. 6)

и пользуясь формулами интегрирования по частям и дифференцирования определенных интегралов по параметру, вместо (VIII. 6. 5) получаем

"-"" -SЙft Г1) {Г iPi~Pc.(v~

2nkh

-дг* [Ро-Рст(Д„)]}+("-1)2/ [р(г, 0-Рст(г)]г"-2 dr =

(VIII. 6. 7)

Ро=р{?о. 0; Pi=p(fli. 0; <?o=Q{«o. 0; Qi = Q{Rv t).

Согласно условию (VIII. 6. 3) QcT(o) = CcT(fli)=QcT> так как при i = 0 режим стационарный. Полагая п = 1, из (VIII. 6. 7) получаем условие сохранения массы в виде

г,2 ,г.2 \ Hi

Pi

~Po-

d dt

prdr. (VIII. 6. 8)

Предположим, что рассматривается некоторое возмущение, начавшееся при г 0. Тогда под Ri можно подразумевать, как обычно, условный радиус зоны влияния, подчиняемый условиям гладкости кривой давления р (г, t) в точке г = fli - условиям

<?i = Q(fli. t) = QcT. P{Ri. t) = pcr{Ri)

(VIII. 6. 9)

и при желании равенствам нулю желаемого количества производных в случае (?ст = 0:

/ др \

=0, к = 2, 3,. . .

Тогда из (VIII. 6. 8) получим

(9o-Qct) + 4-

2л kh

Рот (-fii)

prdr. (VIII. 6. 10)

Интегрируя формально по t, получаем

[Vo{t)-QcTt]+4r

Д С)

Д„(0

2я kh

J Pcr{n)dRl~ / P,{n.t)dR

Д„(0)

д1(«) д1(0)

= / р(г, t)rdr~ J p(r, t)rdr. До (О До (0)

(VIII. 6. И)

где Fo(0 = JQo -суммарный объем, протекший через границу До- Послед-

НИИ интеграл правой части (VIII. 6. И) равен нулю, так как по самой идее метода R (0) = До (0)-

В пределах зоны влияния задаются для давления функцией желаемого вида, обычно полиномом, с параметрами, зависящими от времени. Вид параметров устанавливается из граничных условий типа (VIII. 6. 9) и одного нли нескольких интегральных соотношений (VIII. 6. 10) или (VIII. 6. 7), причем для Ri и в зависимости от условий задачи для До получаются обыкновенные дифференциальные уравнения [Лт. VII. 37]. Иногда предпочтительнее задаться условиями для расхода в виде

Q(r, 0-(?cT-[Q(flo. t)~QcT]F{r. Д„, П,).

(VIII. 6. 12)

где функция F (г, До, Ri) выбирается не содержащей явно время.

Самое грубое приближение, тем не менее в ряде случаев дающее вполне удовлетворительные результаты, получается, если положить F (г, До, Ri) = - const - 1, - это будет метод последовательной смены стационарных состояний (<i 4,.5).

Для большей точности можно положить

F(Bo, Л„, i?i) = l, F{Ri. Во, i?i) = 0.

(VIII. 6.13)

Функцию F (г, i?q, Ri) можно подчинить любому количеству условий гладкости. Такой выбор вида функции (VIII. 6. 12) дает хорошие результаты при монотонном характере возмущения. Согласно (VIII. 6. 6)

Q (г. О- QcT= [0 (Д„. О- 9ст] F (г. /?„, Ri) = - г ~ (VII1. 6. 14)

откуда получаем, интегрируя последнее уравнение по г в пределах от г до В,:

р(г.<)-р(Д1,*)-[Рст(г)-Рст{/?1)] = [9о{Л„.0-9ст]-2 J

или, так как р (Ri, 0 = Pct(-Ri).

Pir, t)~p.cr{r) = -[QoiRo, t)-QcT]f{r, Ro, Ri), (VIII. 6.15) Hi

/(r, Ro, i?i) = J yF{r, Ro, Ri)dr. (VIII. 6. 16)

Подставляя p (r, «) из (VIII. 6. 15) в (VIII. 6. 11), получаем

(() bI (()

Й1(0 Hi С)

= / PcT(r)rdr+2[Q„(i?„, 0-Qct] / f(r, Ro, Ri)rdr Ho(0 HoC)

2яА:й

или, замечая, что /?i (0) = i?o (0),

2яАЛ

[o()-9cT]+4-t j PcT(r)dr- / p{R,,t)dRl]

Hi(0

«0

-LlQo{flo. «)-9ct] j f(r, Ro, Ri)rdr. (VIII.6.17)

2nkh

Ro (0

Учитывая (VIII. 6.15), правую часть (VIII. 6. 17) можно представить также в виде

Po№. 0-Рст(До) =

2я kh

[<?о{До. t)~QcT]f{Ro> Л„, i), (VIII. 6. 18)

f {Rq, F!o, Ri) -

F (г, Ro. i?i)

(VIII. 6.19)