Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

§ 6. Закон сохранения энергии для фильтрационного потока

В задачах, где движение может считаться практически изотермическим, например при медленно изменяющемся течении без притока тепла извне, уравнение состояния имеет вид у = у (р) и совместно с уравнением (П. 4. 3) и законом импульсов в виде (II. 5. 22) или (П. 5. 23) получаем замкнутую систему для Y, р, W.

В общем случае уравнение состояния и.меет вид у == у (р, Т) и для замыкания системы уравнений необходимо четвертое уравнение, которое можно получить, применяя к потоку жидкости закон сохранения .энергии.

Согласно этому закону изменение полной энергии данной массы движущейся жидкости за некоторый промежуток времени равно работе объемных и поверхностных сил, действующих на жидкость за это время, сложенной с подведенной тепловой энергией.

Под полной энергией подразумевается сумма кинетической энергии и инут-ренней энергии, определение которой дается в термодинамике.

Применяя закон сохранения энергии к потоку жидкости инутри нашей трубки тока между сечениями /i и /j, получаем обычную в механике сплошных сред форму этого закона в виде

(f?)

+

ydq-

1 /w

(fl)

A 2g \m

у mdV= j (fl)

У <iq +

l- + z]ydq~

- Jj+zYdg-- jyzmdV + Lвn+- . (11.6.1)

Ш (V)

В формуле (П. 6. 1) левая часть означает изменение в единицу времени полной энергии рассматриваемой массы жидкости, причем и -~- и (р, Т) - внутренняя энергия в тепловых единицах, отнесенная к единице веса жидкости; первые два интеграла в правой части означают выполняемую в единицу времени над жидкостью работу сил давления в сечениях fi, /j и силы тяжести; т}етий интеграл - дополнительную работу силы тяжести, вычисляемую по локальной производной по времени от потенциальной энергии силы тяжести. Физически третий 1нтеграл означает изменение потенциальной энергии в поле силы тяжести, обусловленное нестационарностью движения, когда возможны вследствие сжимаемости жидкости вертикальные перемещения центра тяжести жидкой массы в трубке тока. Величина Z-bh и <?вн означают соответственно подводимые к жидкости в единицу времени внешнюю механическую работу

в тепло: А = г-= ккал/кГ м - термический эквивалент работы.

Следует отметить, что работа сил трения внутри жидкости и теплота трения взаимно компенсируются и поэтому в уравпеиие энергии не вошли.

Далее можно положить с высокой степенью точности La = О, так как на боковой поверхности трубки, состоящей из мысленно рассеченных твердых зерен и участков, занятых жвдкостью, соответственно скорость равна пулю ввиду прилипания к твердым поверхностям (основная гипотеза гидродинамики вязкой жидкости о граничных условиях на твердых поверхностях) и касательное напряжение по сравнению с остальными силами практически равно нулю вииду свободного протока жидкости между зернами пористой среды и предположения о статистической однородности геометрической структуры пористой среды.

Можно дать еще одно обоснование утверждения, что Ьв = О- Очевидно, Ьви в нашем случае это работа силы трения Гх, фигурирующей в уравнении импульсов (II. 5. 1) и {II. 5. 3). Как было указано вьппе, эта сила несопоставимо мала по сравнению с силой Т, по порядку равной результирующей сил давления. Отсюда следует, что работа Z-bh в данном случае пренебрежимо мала по сравнению с работой сил давления и поэтому может быть отброшена.

Вообще же еще раз подчеркнем, поскольку на участках боковой поверхности трубки тока, занятых жидкостью, скорость не равна нулю и касательные напряжения могут быть также не равны нулю, условие Z-bh = О следует рассматривать как приближенное, но для фильтрационных потоков практически точное. В других задачах механики сплошных сред величина /.вн представляет работу граничных касательных напряжений и должна входить в уравнение энергии. Тепло <?вн жидкость получает от скелета пористой среды путем контактной теплопередачи и путем теплопроводности.

Пусть расстояние между сечениями /i и /j неограниченно уменьшается и равно ds. Тогда (II. 6. 1) после некоторой перегруппировки членов и с учетом dV = dfds можно представить в таком виде:

+ 7 + x+t

Y dq

ds +

+

Xmf (s)

I J ds

Y m d/j = 1- jaQ (T-T)f (s) ds +

X 1 m П (s) (Й

(II. 6.2)

Первый член правой части означает тепло, получаемое жидкостью в единицу времени путем теплопередачи от пористой среды согласно закону Ньютона; а - коэфффициент теплопередачи от пористой среды жидкости в ккал!• °С • сек; Q - удельная поверхность пористой среды в м/м.

Второй член правой части - это тепло, получаемое в единицу времени жидкостью путем теплопроводности согласно закону Фурье в направлении оси трубки s; Я, - коэффициент теплопроводности жидкости в ккал/м °С сек.

Третий член - тепло, получаемое жидкостью в единицу времени путем

теплопроводности через боковую поверхность трубки тока; -(Я )ср - среднее значение этого теплопритока вдоль периметра П (s) трубки тока, dTjdn - производная по внутренней нормали к трубке тока.

Как и вьппе, зачтем неравномерное распределение скоростей введением соответствующей поправки Кориолиса в выражении потока кинетической энергии. Положим

u, \г 1

- ywndi-

(П. 6.3)

причем в правой части (II. 6. 3) под w подразумевается средняя в сечении / скорость фильтрации. Как известно, для каналов круглой формы Si = 1 при ламинарном режиме и ii ;=« 0,1 при турбулентном. Этот порядок цифр является вероятным и для остальных форм сечения поровых каналов.

Поправка i в выражении потока кинетической энергии, как и для потока количества движения, зависит от кривой распределения размеров пор по их условным радиусам.

Рассуждения, аналогичные тем, при помощи которых были выведены формулы (II. 5. 10) и (II. 5. И), приводят к следующим результатам:

1 + 1 = (1+Ыо

а для непрерывного распределения v (г) (рис. 1.4)

со оо

J rSv(r)dr[ J r2v(r)dr]2

i + li = (i + h)o--55---

[ / r*v{r)dr]»

(II. 6.4)

(II. 6.5)

причем, как и в формулах (П. 5.11) и (II. 5.12), индекс О относится к одной поре.

Далее в (II. 6.2) входит интегра

т df, в котором - - модуль

вектора скорости частицы жидкости. Обозначим

1 Г /w\ 2g j [mj (/)

2 1 + E

mf (s).

(II. 6.6)

В правой части (II. 6.6) w означает скорость фильтрации в сечении f (я). Если скорость частицы совпадает с wn, то = , где определено формулой (II. 5.5). Вообще же, строго говоря, и могут различаться. Уравнение 11. 6.2) после сокращения на ds с учетом (II. 6. 3) и (П. 6.6) будет иметь вид:

"(Р. Т)

= 4-i aQ(ri-r)/(s) +

+ ds

i + V

mf (s)

[m)

G(s, t)

mf(s) =

дТ \

(II. 6. 7)

Для определения температуры Ti пористой среды можно составить аналогично уравнение энергии для пористой среды. Если пористая среда деформируема, то в уравнение энергии для пористой среды должны войти кинетическая энергия зерен грунта и потенциальная энергия деформации грунтовой массы. Деформации пористой среды носят гистерезисный характер, и в этом вопросе еще нет полной ясности. Кроме того, в случае деформируемой пористой среды уравнение энергии для жидкости должно быть дополнено членами, выражающими работу нормальной реакции зерен. Полный учет всех обстоятельств, связанных с учетом эффектов деформируемости пористой среды, выходит за рамки этой книги, и для упрощения принята модель неизменяемой пористой среды. Для недеформируемой пористой среды механические составляющие в уравнении энергии отсутствуют и остаются тепловые. В этом случае внутренняя энергия единицы веса пористой среды определяется выражением

Ui = cJi,

где ci ккал/кГ °С - теплоемкость пористой среды.

(II. 6. 8)