Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

§ 2. Приток к точечным стокам и источникам на плоскости. Случай равнодебитных стока и источника. Приток к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте

Рассмотрим частный случай движения, которое будет нас интересовать, - нриток к стоку или источнику, помещенному в начале координат. Известно, что потенциал точечного источника или стока определяется формулой (I. 2. 18):

(1П.2.1)

Семейство эквипотенциалей будет окружностями г = const, так как Ф = const при г = = const.

Напомним, что дебит q на единицу мопщости пласта считается положительным для скважины-стока (эксплуатационной) и отрицательным для скважины-источника (нагнетательной).

Семейство линий тока будет ортогонально эквипотенциалям, т. е. линии тока будут представлять собой лучи, выходящие из начала координат. По этим лучам будет направлен вектор скорости. Для стока вектор скорости будет направлен к центру. Каждая линия тока является прямой и составляет с осями координат постоянный угол 0 (рис. III. 2). Вдоль линии тока функция тока -постоянная величина; значит, в полярных координатах г, 9 ее выражение будет иметь простой вид:

W = Ab + B, (III. 2. 2)

где А vi В - некоторые постоянные. Ссставим теперь комплекс:

O+iW =-\nr + iAb + iB -\-С.

Сообенно простое выражение последнего комплекса получится, если придадим А значение А - •

Рис. III. 2. Приток к точечному стоку на плоскости.

2я

Ф-Ь г Ч =(In Г-Ь i б)-Ь const,

(in. 2.3)

const = iB -\-С,

Далее

1пг + г9 = 1п(ге*).

Комплексное переменное z в декартовых координатах имеет вид Z = X-f гу, а в полярных координатах, так как а; = г cos 9, у = г sin 9,

Z = г (cos 9 -f г sin 9).

Но согласно известной из дифференциального исчисления формуле Эйлера

cos 9 + i sin 9 = е

Таким образом,

Inlre*") = In [г (cos 9sin 6)] = Inz. (HI. 2.4)

Отсюда получаем выражение, уже окончательное, характеристической функции источника или стока, помещенного в начале координат:

F{z) = \nz-\-C. (in. 2.5)

Нас сейчас будет интересовать картина движения, образованная равнодебитными источником и стоком. Физически это означает движение, обусловленное работой двух скважин в неограниченном пласте: первой - инжекционной, второй - эксплуатационной.

Прежде чем рассмотреть эту задачу, посмотрим, что изменится, если источник или сток будет помещен не в начале координат, а в какой-то точке, у которой комплексная координата будет zo = жо --

Легко видеть, что для этого случая нужно взять функцию того же самого вида, но заменить в формуле (III. 2.5) z разностью (z - Zo). Для характеристической функции получим

P{.)==iri{z-Zo)-C. (III. 2.6)

Перейдем теперь к указанному выше случаю двух скважин - нагнетательной и эксплуатационной. Для простоты разместим их вдоль оси X (рис. III. 3). Пусть в точке х = а, у = О находится скважина-сток, в точке X = -а, у == О - скважина-источник. Найдем потенциал движения, образованного совместной работой двух скважин. Потенциал и функция тока для первой скважины (опуская постоянные слагаемые) будут равны

i = iri" Pi = iri (III. 2. 7)

где Ti - расстояние от точки М, где определяется потенциал, до первой скважины; - угол, составляемый радиусом-вектором Гг с осью X.

Совершенно аналогично для второй скважины (также опуская константу) получим

" - ir= (III. 2.8)

где Гг - расстояние от точки М до второй скважины; - угол, составленный с осью х.

Рис. 1П. 3. Течение при равнодебитных стоке и источнике на

плоскости.

Добавляя произвольную постоянную С, получаем выражение комплексного потенциала результирующего течения в виде

2П z-\-a

(III. 2. 9)

Докажем, что линии тока будут окружностями, выходящими из нагнетательной скважины и заканчивающимися в эксплуатационной. Отделяя вещественную часть в формуле (III. 2.9) и учитывая формулы (III. 2.8), найдем потенциал и функцию тока результирующего движения:

ф = -}- Фа = In -(- const.

(III. 2.10) (III. 2. И)