Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Рис. IX. 24. Схема вытеснения в круглой трубе.

§ 6. Фильтрация двухфазной жидкости с учетом капиллярного давления

Выше мы пренебрегали капиллярным давлением, т. е. считали, что pi = pi. При этом, как отмечалось выше, капиллярные эффекты косвенно учитываются самим видом кривых фазовых проницаемостей, вообще говоря, существенно зависящих в зоне малых проницаемостей от насыщенностей. Сложный механизм процесса вытеснения одной жидкости другой в пористой среде можно представить себе следующим образом.

Поскольку реальная пористая среда характеризуется тем или иным распределением поперечных размеров норовых каналов, вытеснение начинается не одновременно во всех каналах. Когда мы говорим, что пористая среда характеризуется некоторой проницаемостью к, это в действительности означает, что к - среднее значение проницаемостей всех норовых каналов, относительно больших и малых, причем малые и большие

поровые каналы характеризуются соответственно относительно меньшей и большей проницаемостью но сравнению с к - средним значением.

Вытеснение в пористой среде можно рассматривать следующим образом. В поровых каналах с относительно большими размерами поперечных сечений вытеснение происходит приблизительно, как в трубах, ранее заполненных одной жидкостью, которая начинает вытесняться другой. Если диаметр трубы не очень мал, капиллярным скачком давлений можно в нервом приближении пренебречь. При этом, учитывая к тому же ламинарный характер вытеснения, поперечное сечение трубы вытесняющей жидкостью заполняется не сразу, а постепенно - клин вытесняющей жидкости внедряется в вытесняемую примерно так, как показано на рис. IX. 24, а. Каждое поперечное сечение трубы одновременно занято двумя жидкостями, причем часть площади, занятая вытесняющей жидкостью, с течением времени постепенно увеличивается (рис. IX. 24, б). Поскольку эту часть площади можно трактовать как «насыщенность» при вытеснении из трубы, ясно, что «фазовая проницаемость», определяющая в данном случае соотношение между расходом и градиентом давления, будет зависеть от «насыщенности». В пористой среде на этот эффект непоршневого вытеснения накладывается новый эффект - обусловленное капиллярностью неодновременное начало вытеснения во всех поро-

Л - = а

где i?2 - главные радиусы кривизны капиллярных менисков; а - коэффициент межфазного натяжения; рк{о) - известная экспериментальная функция насыщенности.

Суммарный расход вследствие пес5кимаемости не зависит от х:

ВЫХ каналах и несинхронный процесс развития дальнейшего вытеснения, когда оно захватило уже все поровые каналы.

Таким образом, в реальной пористой среде процесс вытеснения является крайне сложным и в должной степени еще далеко не исследованным.

В первом приближении можно построить теорию, в основе которой лежит условие об однозначной экспериментальной зависимости фазовых проницаемостей от насыщенности и пренебрежение капиллярным скачком давлений. Эта теория для одномерного движения была изложена выше. Заметим попутно, что исследование даже при этих условиях неодномерных случаев вытеснения в точной постановке с учетом преломления линий тока на подвижной границе наталкивается на непреодолимые пока математические трудности и здесь, по-видимому, остается в качестве эффективного метода только метод жестких трубок тока.

Теорией следующего приближения является также предположение об однозначной зависимости фазовых проницаемостей от насыщенностей, но уже наряду с учетом капиллярного скачка рк, который задается так же, как и фазовые проницаемости, в виде известной эмпирической функции насыщенностей. Эта теория для одномерного движения кратко излагается ниже.

Рассмотрим двухфазную фильтрацию с учетом капиллярного давления, причем массовыми силами будем для простоты пренебрегать. Напомним систему исходных уравнений.

Уравнения движения двухфазной жидкости имеют вид:

Q = -4ti-)- №6.2)

Уравнения неразрывности

= -т (.) , = rnS (.) -If . (IX. 6. 3)

Уравнение Лапласа для расчета капиллярного давления

/ 1 , 1 \

Таким образом, имеем пять неизвестных Qi, Q, р, pz, о и пять уравнений.

Из уравнений (IX. 6.1), (IX. 6. 2) и (IX. 6. 5) получим

- (Ci + Сг)+ Сгрст)

(IX. 6. 6)

к* (а) к* (а) Ci = --; Сг = --

Найдем из уравнения (IX. 6. 6)--1 :

dPi дх

Q(t)

A:5(x)(ci + c2) ei + c2

/к(ст)

да дх

(IX. 6. 7)

Подставляя-- из (IX. 6. 7) в уравнение (IX. 6. 1), получаем

Qi=c--к8{х)-рк{а)

да дх

(IX. 6. 8)

Из (IX. 6.8) определим dQJdx и подставим его в уравнение неразрывности (IX. 6. 3). Получаем

\ с1 + с2

к8{х)рк{а)

= mS (х)

да dt

(IX. 6. 9)

Уравнение (IX. 6. 9) представляет собой сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными. Точные решения этого уравнения были получены для некоторых сравнительно простых случаев. В качестве примера укажем на задачу о так называемой стабилизированной зоне вблизи фронта вытеснения [18].

При вытеснении одной жидкости другой, как указывалось выше, скачок насыщенности локализован на некоторой длине б, которая иногда остается неизменной. В работе [18] показано, что размер б теоретически равен бесконечности, однако практически длина б весьма мала и внутри зоны смеси распределение насыщенности хорошо описывается теорией Баклея - Леверетта. Некоторые точные автомодельные решения уравнения (IX. 6. 9) найдены для капиллярной пропитки В. М. Рыжиком (Лт. VIII. 29) и радиального вытеснения Чэнь Чжун-сяном [9].

Имеются также попытки численного решения уравнения (IX. 6. 9) для некоторых частных случаев при помощи быстродействующих электронных вычислительных машин [45], однако в должной степени эта задача еще не может считаться исследованной и здесь предстоит большая работа.