Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [ 116 ] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Подставляя в (IX. 7. 1), будем иметь c,Q

Qi =

Q2=--

ci + ег + сз

= Q9i(Oi, (Тг). 9i(Oi, (Тг) =

= Q92((Ti, (Та), 52 ((Tl. (Т2) =

C1 + C2 + C3

<;i + C2 + C3

(IX. 7. 7)

Подставляя эти значения расходов в первые два уравнения неразрывности (IX. 7.4), получаем для искомых насыщенностей, за которые выбираем <Ti (х, t), 0-2 (х, t), систему уравнений

Qj3i(S(x)f2i., г = 1. 2

(IX. 7. 8)

дх dt

нли, раскрывая левые части, окончательную основную систему уравнений

dqj (Oi, g;) dai dqi (Oi, gg) da dOi dx dOi dx

= m5(x) i = l, 2. (IX. 7.9)

Уравнения (IX. 7. 9) образуют квазилинейную систему уравнений первого порядка в частных производных обычно гиперболического типа. Такие системы встречаются во многих задачах газовой динамики [10, 11, 21] и могут быть исследованы теми же методами.

Введем в рассмотрение уравнения характеристик.

Имеем

dai = dx+dt, . = 1.2.

(IX. 7. 10)

Уравнения (IX. 7. 9) и (IX. 7. 10) образуют систему четырех линейных

da, da2 da, da-i уравнении для частных производных -~, . Решение этой системы

проще всего произвести, исключая сначала частные производные по времени

, при помощи уравнения (IX. 7. 10). Из (IX. 7. 10), (IX. 7. 9)

dai dOi dOi dx

dqi dOi dqi da

dOi dx da dx или в раскрытом виде

dt dt dx dt = mS(x)

dai dOj dx dt dx dt

,i = i, 2 (IX. 7. 11)

dat dx

dOi dx

Решения системы (IX. 7. 12) для

dx--y dt

dx dx Al dai Д2

da .

будут

(IX. 7. 12)

Д1 =

mS (х) mS (x) -

da«

dx dt

mS{x) mS(x)

-mS(x)

dai dt

da2 dt

dx dt

(IX. 7.14;

(IX. 7. 15)

(IX. 7. 16)

или в развернутом виде

mS(x)

dt да.

dOi dQi ttoa

dt дОг dt

\w)-[d+du;)w~(d2di~did2)

(IX. 7. 17)

to5 (2)

mS (x)

da , dq day

da, dt

,mSixn-[§J~mSix)Q{fi-

Idqy dq ддддХ

dai doi йстз

Будем сначала искать сильные разрывы функций Oi, а,, т. е. закон движения скачков насыщенности. Очевидно, в этом случае знаменатель Д в (IX. 7. 13) должен обратиться в нуль, что дает квадратное уравнение для dx/dt:

( dx \2

dt I mS (х) \ да. Решая его, получаем

1 дд2 \ dx

dqi дд2 дд, дд2

m-S- (г) \ да2 да, да, да2 j dqA

= 0.

± Yd

да2Г дд, дд2

да2 да.

(IX. 7.18) (IX. 7. 19)

Если ищутся слабые разрывы, т. е. непрерывные значения функций ау, Оз, то одновременно обращается в нуль числитель Д1 или Дз в (IX. 7. 13), причем нетрудно показать, что при Д = О и Дх = О тождественно выполняется условие Дг =0.

Приравнивая Д1 = О, получаем

дд2 da, дд, dOt \

да, dt

или, сокращая на

/.,4 dx ( dq dq da \

(IX. 7. 20)

Учитывая (IX. 7.18), получаем

mS (x) dx dq dq da 1

dOi dOi 2 da I

dqi dq

dqi da2 da2 dai

dch da2

(IX. 7. 21)

Последнее уравнение (IX. 7. 21) является обыкновенным дифференциальным уравнением, связывающим насыщенности oi и Oj. Оно имеет вещественные решения, если i) > О, т. е. когда система (IX. 7. 9) принадлежит к гиперболическому типу и имеет два вещественных семейства характеристик в плоскостях Си Оз и х, t.

Знак подкоренного выражения в (IX. 7. 18) определяется знаком и величиной произведения При обычных видах зависимостей фазовых прони-da2 cOi

цаемостей k (oi, а, а) возрастание какой-либо насыщенности Oj соответствует возрастанию расхода соответствующей фазы Qi и уменьшению расхода

остальных двух фаз. В этом случав, с учетом (IX. 7. 7) должно быть- О, dq2 о и

>0, т. е. исходная система гинерболргаеская.

да da2 dai

Можно, однако, представить себе такие условия, когда в некоторых диапазонах изменения насыщенностей произведение -f будет отрицательно

da dai

и все подкоренное выражение в (IX. 7. 18) или (IX. 7. 21) будет также отрицательно, а в других положительно. В этом случав исходная система (IX. 7. 9) является смешанной: в одной области эллиптического типа, в другой гиперболического, и мы приходим к весьма сложной задаче Трикоми [22], к которой, в частности, сводятся задачи трансзвуковых течений газовой динамики, когда в одних областях течения скорость дозвуковая, в других сверхзвуковая.

Этот вопрос рассматривался Ю. И. Сткляниным [24], который пришел к выводу, что в физически реальных течениях трехфазных жидкостей в пористой среде исходная система (IX. 7. 9) является гиперболической.

Из (IX. 7. 21) следует, что система (IX. 7. 9) является так называемой приводимой, так как сетка характеристик в плоскости Oi, а, получаемая обычно в результате численного интегрирования (IX. 7. 21), не зависит от условий течения, а определяется исключительно видом функций q\ (oi, Oj), (ai, Oa), T. e. согласно (IX. 7. 7) видом фазовых проницаемостей. Эта сетка может быть построена раз навсегда, после чего по уравнению (IX. 7. 18) может быть построена в зависимости от начальных условий задачи сетка характеристик в плоскости х, t. Вместо плоскости х, t удобно ввести плоскость V, t:

V{x) = mS(l)dl. О

где V - объем пор в трубке тока между нулевым сечением и сечением х.