Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Всякую периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье [7]

Фк() = Фк+ 2 (Ф„С08 лв+Ф8Ш Лв), (III. 6. И)

где коэффициенты Фи Ф определяются из фор.мул

Ф= IФ„(6)cosraSde, ф=-j Ф„(е)81плесге. (II1.6.12)

Яд Л Q

Эти коэффициенты всегда могут быть определены аналитически или численно. Очевидно, если потребовать, чтобы функция ф(д,в) на окружности q = qk обращалась в переменную составляющую ряда (III. 6.11)

9(Qk)= 2 (Ф„С05Ле-НФ51пле), (III. 6.13)

то согласно формулам (III. 6. 9) и (III. 6. 11) задача будет решена.

Таким образом, функция ф (q, 6), удовлетворяющая уравнению Лапласа, должна быть найдена внутри круга Q = Qk по ее известному значению на окружности q = Qk. которое дается формулой (III. 6. 13) - это задача Дирихле для круга. Решение ее хорошо известно и приведено во многих руководствах по математическому анализу [7]. Оно имеет вид:

со / \п

Ф(д.е)=2 (Ф„со5ив + Ф;8шив)(.)". (III.6.14)

Таким образом, согласно формулам (III. 6.9) и (III. 6.14) потенциал Ф = Ф (q, 6) определяется уравнением

Ф=Ф(д,е) = Ф„-н > (Ф„со8ле-нФ„8шле) +

\ Qk /

n „ „

1 VI Q -Нб-2q6. cos(e-а.)

"2j h \ - "--

-V + QK-2Q6jCos(6-ai) Q«

Если заданы забойные потенциалы Фсг на скважинах радиусами Qd, то дебиты могут быть найдены следующим образом.

В какой-либо точке М контура j-u скважины радиусом Qcj (рис. III. 13) член q --бу - 2q6 cos (6-а), очевидно, будет квадратом расстояния этой точки до центра скважины, т. е.

о -f б - 2q6 cos (6- а) = q. (III. 6.16)

В остальных членах формулы (III. 6. 15), пользуясь малостью радиуса Qej, при нахождении забойного потенциала Ф« полагаем Q = 6j, d = aj.

Тогда получим

Фс; = Фк+;](Фп<=о5ие + Ф;5шие)(] +

i=l o

+ 6j - 26j6j cos (a- ttj)

2- + Qk-26j6 cos(a-a,) 6k

+ 6„-2б.

= Фк + 2 (Ф„ cos « 6 + Ф; sin п 6) (-)"+

1 6. + 6-26j5iCos(a--aj)

Zj °1Г--

-V- + Q„-26,-6.cos(a-a.) 6к

2Я [ Qc

(III. 6.17)

Штрих С) у суммы 2 означает, что при суммировании от i = l до i=JV i = l

опускается член i = /.

Для пласта мощностью й, в котором расположены скважины с дебиташ Qxi переходя от потенциала к давлениям и вспоминая, что

кр Qi

получаем из (III. 6. 15)

Р (Q. в) = р"„+ 2] (п cos л 6 + р; sin и 6) [-~f+

, р - , сЧб<-2q6j cos (6-Of)

-V + Q-2Q6jCOS(9-ai)

(III. 6.18)

V8 Гл. III. Плоские задачи фильтрации к совершенным скважинам Из формул (III. 6. 16) и (III. 6. 17) для забойных давлений будет

, X V n 1 • + 6i-26,.6, cos(a,-a,)

+ Q-2S6,.cos(a-a.)

2n kh

Qk Qcj

6[\ 6h

(III. 6.19)

Если скважины несовершенные, то, как будет показано в § 2 и 4 главы V, под Qcj следует подразумевать приведенный радиус, учитывающий ее несовершенство.

Полученные выше формулы могут быть применены к исследованию пластов а скважин при помощи карты изобар следующим образом.

Пусть для какого-либо месторождения известны карта изобар, дебиты и забойные давления скважин. Усредненное значение параметра kh/yi вдоль

некоторой площади можно определить при помощи формул (III. 6. 18) и (III. 6.19) следующим образом.

Выделим на карте изобар место-, рождения круг желаемого радиуса Qk (рис. III. 14). Центр круга О следует поместить в точке, удаленной от скважин на расстояние не меньше нескольких мощностей пласта. По карте изобар непосредственно можно определить пластовое давление в любой точке круга и, следовательно, давление рк на контуре Qk, которое, таким образом, будет известной функцией Рк (9) полярного угла 6.

Из уравнений (III. 6. 12) численно [7] могут быть найдены коэффициенты Фурье Рп и р . Тогда, зная по карте изобар давление р (q, 9) в любой точке и дебиты из

уравнения (III. 6. 18) можно найти параметр khf[i. Если пласт однороден, для любой точки внутри круга с координатами q, 6 из формулы (ТП. 6. 18) будет получаться одно и то же значение параметра kh/ii.

Если пласт, как это обычно бывает, неоднороден, для разных точек с разными координатами q, 6 будут получаться неодинаковые значения kh/ii. Можно предполагать, что среднее вдоль нлошэди значение kh/ получится по давлению /зов центре круга - точке q = О, которое также берется по карте изобар.

Рис.

III. 14. Схема карты изобар месторождения.