Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [ 61 ] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

работки нефтяных и газовых месторождений. При помощи этих схем можно рассмотреть, в частности, задачи о наивыгоднейшей расстановке батарей скважин (Лт. I. 16; Лт. II. 9; Лт. IV. 2].

§ 4. Замечания о задачах фильтрации с подвижными граничными условиями. Сведение задачи о движении границы разд&па к решению интегро-дифференциального уравнения специального типа

Задачи с теми или иными краевыми условиями на подвижных границах, форма и закон движения которых неизвестны и подлежат определению, в большинстве случаев еш,е не имеют точных эффективных решений. К ним относятся, в частности, задачи точной теории волн на границе раздела жидкостей, теории образования и движения неодномерных ударных волн и т. д.

Помимо указанного выше приближенного метода жестких трубок тока, к решению задач движения границы раздела жидкостей в пористых средах применяются другие приближенные методы, основанные на той или иной линеаризации условий на подвижной границе.

Иногда применяются и чисто вычислительные методы, в том числе с использованием цифровых или моделируюпщх устройств, для решения уравнения .Лапласа при заданных граничных условиях и известных областях. При помощи этих устройств задача движения границы раздела решается следующем образом: в начальный момент t = О граница раздела известна и, решая совместно уравнения Лапласа \/Ф=0, уФ« = О в областях, занятых движущимися жидкостями 1 и 2 при граничных условиях для t =-- О, можно вычислить нормаль-

дФ, дФ«

ные компоненты скорости шщ = игп = Для точек границы раздела

on an

в момент 1=0.

Выбирая затем достаточно малый интервал времени А h, можно построить новое положение границы раздела по элементарным перемещениям вдоль нормали nwn Ah (см. рис. VII. 1). Затем вновь решаются уравнения Лапласа уже для новой конфигурации границы раздела к моменту t = Ah, определяются нормальные коотонентьт скорости п находится перемещение границы раздела к следующему моменту: t -- А h -\- А к- Процесс повторяется вплоть до желаемого момента t = А h -\- А «2 ••• + А л- Обычно рыбираются равные интервалы Ah = Ah -~ .•• = А t. Контролем служит степень совпадения расчетов при шаге At л - At, как это обычно делается при конечно-разно-

стпых схемах, а также проверка баланса объемов, пройденных жидкостями У и 2. Существенным недостатком этого метода, как, впрочем, и многих других коноч-ио-разностных схем, является отсутствие доказательства сходимость процесса к точному решению прп стремлении шага Д * к нулю.

Для плоской задачи стягивания контура нефтеносности при нулевой вязкости вытесняющей воды pi = О (задача Лейбензона), методы точного решения предложены в работах П. Я. Кочиной, Л. А. Галина, П. П. Куфарева и Ю. П. Виноградова [Лт. II. 2; 3, 4, 5, 6]. В основе этих методов лежит некоторая функция комплексного переменного, реализующая конформное отображение неизвестной области течения на круг вспомогательной плоскости. Задавая эту функцию в виде ряда, коэффициенты которого зависят от времени, из условий на подвижной границе для коэффициентов можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, для расчетов, впрочем, очень сложную. Следует отметить, что при неодномерном стягивании контура нефтеносности к скважине получается согласно этим решениям физически нереальный результат в виде точки возврата задолго до прорыва воды к скважине (рис. VII. 5). Возможная причина лежит в неучете илерциоиных сил и капиллярных эффектов.

Другой метод решевия задачи при pi Ф pj был предложен В. Л. Даниловым [7, 8]. Пользуясь методами теории потенциала, В. Л. Данилов построил некоторое интегро-дифференциальиое уравнение для подвижной границы раздела, коюрое затем было решено для нескольких примеров на быстродейству-Ю1ДИХ вычислительных машинах. Решение В. Л. Данилова приводится ниже..

Плоские и пространственные задачи о перемещении границы раздела двух неснсимаемых жидкостей с различными вязкостями и удельными весами в недеформируемых пластах могут быть исследованы н точной постановке (для приведенной выше схелш процесса поршневого вытеснения) методами теории потенциала. С математической точки зрения они сводятся к задачам Коши для интегро-дифференциальных уравнений специального типа [7, 8, 9].

Покажем применение этого метода на примере плоской задачи о движении замкнутого контура нефтеносности Г при работе системы скважин в неограниченном пласте с постоянными мощностью Л, пористостью т и проницаемостью к (рис. УП. 6). Вязкость нефти внутри контура Г (область Gi) обозначим pi, вязкость воды вне контура Г (область Gj) Рг- Влиянием различия удельных весов в пласте будем пренебрегать.

Пусть скважины (в плоской задаче это вертикальные линейные источники и стоки с постоянной интенсивностью) имеют координаты ij, yi и объемные дебиты Qi (t), причем значениям индекса i = 1, 2,...,; соответствуют эксплуатационные скважины в Gi, а значениям i = / -- 1, /-(-2,...,/+- нагнетательные скважпны в йг-

При указанных выше условиях течение является плоским, а давление р (х, у, t) удовлетворяет уравнению Лапласа

VP = О (VH. 4. 1)

всюду, за исключением особых точек-скважин и в общем случае бесконечно удаленной точки плоскости, а также особой линии - границы раздела жидкостей. На

границе раздела - контуре Г - как в начальный момент, так и во все последующее время движения выполняются следующие условия:

1) давление при переходе через контур Г изменяется непрерывно; обозначая индексом «-f » предельное значение р при подходе к Г изнутри о о \ "N/ " индексом «-» предельное значенне при под-

{ о С • >ч/ \ ходе к Г снаружи, имеем

Рис. УП. 5, Схема образования точки возврата до прорыва в скважину.-

(VII. 4. 2).

Рис. VII. 6.

2) нормальная составляющая скорости фильтрации вследствие неразрывности течения непрерывна при переходе через Г. Учитывая закон Дарси

w = -cjgradp, i= 1,2,

(VII. 4.3)

из условия - находим

др дп

д р2

(VII. 4. 4)

1 Все дальнейшие рассуждения сохраняют силу при проницаемости A:i в области Gl, отличной от проницаемости к в области О.

Потепциал простого слоя, нанесенного на границу, был использован лри решении обратной задачи Г. Г. Тумашевым [Щ.

к к где Ci =--коэффихщент текучести в нефтяной зоне; Са =--то же в вод-

ной зоне; п -внутренняя (для определенности) нормаль к контуру Г. Введем уравнение неизвестной границкс раздела Г в неявной форме:

Fix,y,t) = 0. (VII. 4. 5) Начальное положение ее Го известно:

F(x у,0) = ГАз:,У) = 0- (VII.4.6)

Беря полную производную от уравнения (VII. 4. 5) по времени, имеем

dF dF . dF dx dF dx dF . dF ,

-5Г = Ж+-а71Г + = + = (VII.4.7)

Ill -скорость перемещения контура Г по нормали п к нему. Из (VII. 4.3) и (VII. 4. 4) следует

.„=±„,„=-fiif!: = -iiii. (VII. 4.8)

т т дп т дп

Тогда из (VII. 4. 7) и (VII. 4. 8) вкстекают две эквивалентные формы урав-Д1еиия движения:

Задача состоит в отыскании функции F (ж, у, t) = О, удовлетворяющей уравнению движения (VII. 4. 9а) либо (VII. 4. 96) и начальному условию (VII. 4. 6), причем функция р должна удовлетворять уравнению (VII. 4. 1), условиям (VII. 4. 3), (VII. 4. 5) и иметь заданные особенности в точках скважин.

Перейдем к выводу уравнения движения границы Г. Введем гармоническую функцию, представляющую сумму полей давлений от отдельных скважин:

R\ = (x-xf + (y~y)\ Распределение давления в пласте будем искать в виде

P(x,y,t) = (f(x,y,t)-\- \ Q(?,Ti,<)In-prfa, (VII. 4. И)

тде R = {x~l,y-\-(y - v()\ а -дуговая абсцисса точки контура Г с декартовыми коср;(Ш1атаАга , т; Q -плотность логарифмического потенциала простого слоя в точке g, т), н-епрерывно распределенная по Г.