Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

При Ci = c2 = c вместо (VII. 10. 18), как легко видеть, будет

г/м Ду ft с

[я(!/)]тах = я=- .

(VII. 10.19)

Развернутое выражение ш (у) получим после выполнения интегрирования согласно (VII. 10.14) что дает после простых вычислений

где обозначено

ft« 1

1 + -

Т]--1п(1+бт1)

, (VII. 10. 20)

ft С2

(VII. 10.21)

Таким образом, для заданного у из (VII. 10. 20) можно найти ш и наоборот. Последнюю операцию проще всего выполнять графически по заранее построенному графику правой части (VII. 10.20). При 6 = 0 и Ci = c2 = c из (VII. 10. 21) получим

= "7" "Г • (VII. 10. 22)

Проводя аналогичные рассуждения для случая двухмерного растекания, получаем

(VII.10.23>

где xi, Х2 - прямоугольные координаты на плоскости. Начальные условия зададим в виде

при t = 0

ш(г, 0) = /(г) - линейный случай,

(и(х1, Х2, 0) = f(xi, 22)-двухмерный случай.

Дальнейшие расчеты будем производить, предполагая х= const. Из теории теплопроводности известно [31], что для линейного случая решение уравнения (VII. 10. 17) в этом случае имеет вид:

(х. t) =-Д= Г /(")е du. (VII.10.24)

2 /ях t J

а для двухмерного решение (VII. 10. 23) будет 1

£0(21, Х2, t) =

4ли t

(Ж1-Ц)2 + (X2-C)»

f(u, v)e dudu. (VII. 10. 25)

- 00 -00

При линейном растекании, вводя подстановку

2/xi

~ = z, u = x + 2zY-x.t,

du = 2VK tdz.

(VII. 10. 26)

перепшпем (VII.IO. 24) в виде

а{х. t) = -

f{x-\-2z yKt)e- dz.

(VII. 10. 27)

Рассмотрим пример (рис. VII. 31), когда начальное распределение имеет вид прямоугольника:

!0, - оо < г < - г, Шо. -1<х<1, (VII. 10. 28)

О, / < я: < оо.

Это условие на основании (VII. 10. 26) можно переписать в виде

О, -оо< Z <--

2Киг

1+х 1~х -r:=<Z<--, (VII.IO. 29)

f{x-\-2z Ух 0 =

„ 1 - х

О, -< Z < оо.

2/хг

Тогда из (VII.IO. 27) следует, что 1 - х

„-22

I + X

"2 Vt

I +х

2 Vt

i-dz + г е-

dz] =

2 t 1-х

I +х

] e-dz+ J г-dz

2 Vtit

= ferf-ii+erf-l, 2 \ 2 1/хг 2/xi/

eril-l-du-ул 0

интеграл вероятности.

(VII. 10.30) (VII. 10.31)

{1-г. i) = -(erf-L+erfz) . (VII. 10. 32)

Следовательно, подходя к точке 1 - г изнутри интервала при малых t и учитывая, что erfg->1, получаем (а {1 - г, i)«»o)o.

В точке х = 1-{-г

o)(Z + e, i) = -

erf-erf

2Vxt 2/:

В точках за пределами интервала [-I, I] ш сначала повышается (при t = О, 0) =0), а затем понижается.

Из (VII. 10. 27) следует, что значение ы {х, i) в момент <>0 зависит от значений / на всей прямой интегрирования, т. е. скорость распространения возмущений бесконечна, что хорошо известно для классического уравнения теплопроводности. Однако заметные изменения ш будут только при О <-- < 2,

2 Vxt

откуда следует, что скорость распространения «языка» нижней жидкости практически равна ея«4]/х t.

Рассмотрим теперь радиальное растекание. Будем предполагать, что имеется радиальная симметрия, т. е. все величины зависят только от раднуса г. Уравнение (VII. 10. 23) в этом случае принимает вид:

а начальное условие при < = 0

ш(г, 0) = /(г). (VII. 10. 34)

Переходя к полярным координатам, a:i = rcos6, 1:2 = г sin 6, м = дсо8ф, v = = Q sin ф, получаем

dudv = Q dQ йф.

Перепишем (VII. 10. 25) в виде

оо 2Я + 9 г2 + о2 - 2г о COS (ф - 9)

4nxi

*()=;1 .f /(>* йдФ (vi 1.10.35)

или, вводя замену переменных гз = ф -6 (гз-угол между векторами гид)

оо г» + о» 2Я г о COS rf

ш(г, 0 = 7-f /(Q)Qe 4« dgf е 2х< (VII.10.36)

4л;х 1 q q

Из теории бесселевых функций известно [31, 32], что

fe*°°«°da=n7o(x). о

Рассмотрим поведение решения (VII. 10. 30) в точках 1 - г, 1-\-г, где е весьма мало. В точке х=1-е