Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Если проницаемость к переменна, то вместо (VII. 3.2) будем иметь

1 Pi-Pi

(VII. 3. 3)

Формулы (VII. 3. 2) и (VII. 3. 3) выражают закон Дарси для трубки переменного сечения с равномерным распределением скоростей в поперечных сечениях.

Рассмотрим теперь жесткую трубку переменного сечения длиной I, в которой одна жидкость вытесняет другую. Обозначим вытесняющую жидкость индексом 1, а вытесняемую - индексом 2. Этими же

Рис. VII. 3.

индексами будем обозначать в дальнейшем величины, связанные-с вытесняющей или вытесняемой жидкостью. Пусть в одном сечении трубки, занятом вытесняющей жидкостью, давление равно рк (контур питания), а в другом, отстоящем от первого на расстоянии s = = I, занятом вытесняемой жидкостью, равно рс (скважины).

Предположим, что закон изменения площади / поперечного сечения трубки по длине известен:

(VII. 3.4)-

Пусть первая жидкость занимает в данный момент длину трубки s, а вторая I - s (рис. VII. 3). Найдем в этом положении скорость перемещения границы раздела. Обозначая давление в граничном сечении через Pi-2 и считая проницаемость к постоянной, согласно (VII. 3. 2) получаем

, f ds

к Рк~Р\-2

. (VII. 3.5)

г ds J /

Подынтегральные функции в (УП.З.б) и (VII. 3.6) одинаковы, так как мы условились считать трубку недеформируемой. Тогда, разделив (VII. 3. 5) па (VII. 3. 6), найдем

"1-2 Pk-Pi-2 Pi-2~Pc

(Pk P2-2I

1-2 Рк -Рс

2-2 Ио (Рк -P2-2) + (P2-2--Pc)

(Vn.3. 7)

Po = -. (VII. 3.8)

Формула (VII. 3. 8) является искомой. Она позволяет связать скорость ui 2 для двухжидкостной системы со скоростью «2-2 одно-жидкостной.

Таким образом, если одножидкостпый поток известен, по формуле (VII. 3. 7) можно найти скорости в любой точке. Отметим, что этот вывод применим и к пространственным потокам. Очевидно, формула (VII. 3. 7) будет строго верна для прямолинейного и радиального течений, когда деформаций трубок тока вследствие преломления на границе не происходит. Вообще же говоря, формула (Vll. 3. 7) неверна, ибо, как указывалось выше, траектории частиц в одно-жидкостной и двухжидкостпой системах могут быть различными.

В тех случаях, когда существуют траектории, общие для обеих жидкостей, например, прямая, из геометрических соображений можно судить, в какую сторону мы делаем ошибку, пользуясь формулой (VII. 3. 7).

Пусть, например, вытесняемая жидкость под напором вытесняющей поступает к линейной батарее скважин (рис. VII. 4); Т - контур питания, MN - граница раздела в данный момент, AS - прямолинейная осевая линия тока, проходящая через какую-либо скважину S. Рассмотрим примерный вид линии тока в обеих областях, ироведенной через точку А, весьма близкую к А. Давления на контурах питания и скважин будем считать неизменными во всех рассматриваемых ниже случаях.

Рассмотрим теперь течение, которое будет в той же трубке, когда она вся будет заполнена только одной жидкостью, например второй вытесняемой, при тех же контурных давлениях и р. Давление в этом же сечении s обозначим через Р2 - 2, скорость W2-2- Тогда

к РК-Р2-2 к Р2-2-РС ,ТТ ч «\

Предположим сначала, что вязкости обеих жидкостей равны, т. е. система одножидкостная. Тогда на границе раздела не будет преломления линий тока и линия тока, проходящая через А, будет изображаться плавной кривой ABS. Пусть теперь fii 7 [га; тогда линия тока, проходящая через А, будет иметь излом на границе раздела. Если [11 < Li2, то из закона преломления следует, что линия тока будет иметь вид ломаной ACS, т. е. приблизится к прямой AS. Формула (VH. 3. 7) соответствует условию, что линия ABS остается неизменной, чего, как мы видим, в действительности не происходит. Таким образом, во второй зоне при \ii < \i2 в окрестности прямой

Рис. VII. 4. Схема линии тока при прорыве к скважине при различном соотношении вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей.

AS происходит сгущение линий тока по сравнению с картиной линий тока при Ц1 = 112. Заставляя теперь точку А стремиться к А, приходим к выводу, что скорость точки В границы раздела, лежащей на прямолинейной траектории AS, в действительности будет несколько больше той величины, которая получится по формуле (Vn. 3. 7), так как сгущение линий тока соответствует увеличению скоростей. Следовательно, эта формула для движения по прямой AS дает при Ц1 < fi2 несколько заниженное значение скорости против действительной.

Рассуждая совершенно аналогичным образом, мы придем к заключению, что при Ц1 > Ц2 линия тока будет иметь вид ADS и в этом случае для точки В по формуле (VH. 3. 7) получится значение скорости, большее действительного. Таким же образом можно показать, что для точки К формула (VH. 3. 7) будет давать обратные результаты, нежели для точки В, т. е. преувеличенные значения скорости ири [11 < [12 и преуменьшенные при [ii > [i2.

Из этих соображений оказывается возможным установить, в какую сторону мы ошибаемся, пользуясь формулой (УП. 3. 7).

Схемы одномерного вытеснения одной жидкости другой в трубке тока переменного сечения широко используются в расчетах раз-