Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 [ 199 ] 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238

При выводе дифференциального уравнения движения сжимаемой жидкости исходными уравнениями являются следуюгцие:

1) закон фильтрации жидкости; в качестве закона фильтрации принимаем линейный закон фильтрации, выражаюгцийся формулами (13, ХХ11)1,

2) уравнение неразрывности (9, XXII),

3) уравнение состояния. Для капельной сжимаемой жидкости уравнение состояния может быть представлено в виде (см. § 1 главы XI):

/З(р-Рат)

(17, xvn)

где ат - нлотность жидкости при атмосферном давлении рат •

Подставляя в уравнение неразрывности (9, XXII) вместо проекций скорости фильтрации Vx, Vy и Vz их значения из линейного закона, выражаюгцегося формулой (13, XXII), получим:

дх \ дх J ду \ ду J dz

др dz

дд di

Из уравнения состояния (17, XXII) имеем:

(18, ХХП)

1 1 Q

(19, ХХП)

откуда

др I дд др 1 дд др i дд

дх (Зд дх ду (Зд ду dz (Зд dz

(20, ХХП)

Следовательно рассматривается случай только горизонтального потока (либо действием силы тяжести пренебрегаем.)

Функция Ф, определяемая уравнением (14, XXII), называется потенциалом скорости фильтрации и обладает тем свойством, что градиент этой функции, взятый с обратным знаком, равен вектору скорости фильтрации, а частные производные от потенциала скорости Ф ио x, у и z, взятые с обратным знаком, дают величину проекций скорости фильтрации на соответствуюгцие оси координат.

Уравнения (15, XXII) и (16, XXII) представляют наиболее обгцую форму выражения линейного закона фильтрации и учитывают влияние силы тяжести па фильтрацию.

2. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой и несжимаемой жидкости в пористой среде

-n- dp dp dp

Подставляя эти значения частных производных -, - и

в уравненне (18, XXII), получим:

dx dy dz

dg dg dg m/jjP dg

dx dy Вводя оператор Лапласа

к dt

dg dg dg

dx dy

уравнение (21, XXII) более кратко можно написать в виде

m/i/? dg ~Т~ ~di

(22, ХХП)

Учитывая, что

д = атв

/З(р-Рат)

Рат),

dt - dt

Vgpg.VP,

>

(23, ХХП)

уравнение (21, XXII) можно приближенно представить в виде:

dp , dp , dp mP/jj dp

dy Vp

dz к

т/З/а dp ~T~ ~di

>

(24, ХХП)

Уравнение (21, XXII) или приближенное заменяющее его уравнение 24, XXII) есть искомое дифференциальное уравненне неустановнвгаегося движения сжимаемой жидкости в пористой среде. Упомянутые уравнения имеют вид «уравнения теплонроводности», ннтегрнрованне которого нри различных начальных н граничных условиях рассматривается в каждом курсе математической физики.

Регаение различных задач о неустановившемся движении однородной сжимаемой жидкости в пористой среде, основанное на интегрировании уравнения (21, XXII) при различных начальных н граничных

условиях, дается в книгах В. Н. Щелкачева [219], И. А. Чарного [189 и М. Маскета [120].

В связи с тем, что рассмотрение этих регаений выходит за рамки настоягцего курса, интересуюгцегося читателя мы отсылаем к указанным книгам.

При установившемся движении сжимаемой жидкости

и вместо уравнения (21, XXII) имеем: или

(25, ХХП)

Уравнение (25, XXII) называется уравнением Лапласа. При установивгаейся и неустановивгаейся фильтрации несжимаемой жидкости нлотность жидкости постоянна {д = const, = 0), еле-

довательно, величина, стоягцая в правой части уравнения (18, XXII),

равна нулю. Сокрагцая левую часть этого уравнения на постоянную и выполнив дифференцирование, получим:

др , др , др

ду Vp

dz 0.

(26, ХХП)

Таким образом, устаповивгааяся и пеустановивгааяся фильтрация несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа (26, XXII). Приведем простейгаие примеры.

Пример 1. Одномерная устаповивгааяся фильтрация несжимаемой жидкости но линейному закону фильтрации.

Модель пласта представлена на рис. 53а. Для случая одномерного установивгаегося движения уравнение Лапласа (26, XXII) имеет вид:

(27, ХХП)

Граничные условия выражаются следуюгцим образом:

р = Рг при ж = О,

р = Рк при Ж = 1/к,

(28, ХХП)

где Рг и Рк - давления соответственно в галлерее и па контуре нитапия.