Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 [ 200 ] 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238

Из уравнения (27, ХХП) следует, что

dp dx

откуда

Р = CiX + С2,

(29, ХХП)

где ci и С2 - произвольные постоянные.

Уравненне (29, ХХП) представляет обгцее регаение задачи об установивгаейся одномерной фильтрации несжимаемой жидкости. Значения произвольных постоянных ci н С2 определяем нз граничных условий (28, ХХП). Подставляя значения х и р из равенств (28, ХХП) в обгцее регаение (29, ХХП), имеем:

Рт = С2 Рк = ClI/k -

откуда

Рк -Рт

Вводя полученные значения постоянных ci н С2 в уравнение (29, ХХП), находим закон распределения давления в пласте

Рк -Рт

Р=Рг -f- X.

(30, ХХП)

Дифференцируя уравненне (30, ХХП) согласно линейному закону фильтрации, найдем скорость фильтрации:

к dp М dx

(31, ХХП)

Формулы (30, XXII) и (31, XXII) полностью совпадают с соответствуюгцими формулами (15, IX) и (8, IX), выведенными в § 1 главы IX.

Пример 2. Установивгааяся радиальная фильтрация несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации.

Модель пласта представлена на рнс. 52 н 61. Для случая плоского радиального движения уравненне Лапласа (28, XXII) имеет вид:

др др

Чтобы упростить решение задачи, перейдем от декартовых координат к полярным координатам. Вследствие радиальной симметрии давление в любой точке М(ж, у) зависит только от радиуса-вектора г и не зависит от полярного угла. Поэтому после преобразования в дифференциальном уравнении остается только одна независимая переменная - радиус-вектор г.

Так как

дг дх

дг ду

др др

Выразим производные -- и -- через г:

дх ду

др др dji др x дх дг дх 9

др др дг др у ду дг дх дг

Дифференцируя уравнение (34, ХХП) но ж, имеем:

(33, ХХП)

(34, ХХП)

(35, ХХП)

следовательно,

др др д

др д

дг дх ( др \

x д [др

дг дх \ J дх \ дг

др дг

у др 3

2 др

г дгКдг дх г дг дг

др х др у др

дх дг

(36, ХХП)

Дифференцируя уравнение (35, ХХП) но у, имеем:

Qy2 2 3 дг

Складывая уравнения (36, XXII) и (37, XXII) и учитывая, что

г , находим:

др др (ж + у) др {у + ж) др др i др

дх ду

дг дг дг

Таким образом, уравнение Лапласа (29, XXII) в полярных координатах выражается так:

др 1 др

г Qrj.

(38, XXII)

Общее решение уравнения (38, XXII) имеет вид:

р = Cl шг + С2,

(39, XXII)

в чем легко убедиться путем проверки.

Здесь Cl и С2 - произвольные постоянные, определяемые из граничных условий, формулируемых так:

р = Рс при г р = Рк при г

(40, XXII)

где Rc и Rk - соответственно радиусы скважины н контура питания, а Рс и Рк - соответственно давления на скважине и на контуре питания.

Подставляя граничные условия (40, XXII) в общее решение (39, XXII), имеем:

Рс = Cl InRc +С2,

Рк = Cl Inik +С2,

откуда находим значения постоянных ci н С2

Рк -Рс

С2 =Pi

Рк -Рс г

Рк Рс

Подставляя этн значения ci и С2 в уравненне (39, XXII), находим формулу распределения давления в пласте при установившейся радиальной фильтрации несжимаемой жидкости: