Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 [ 201 ] 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238

Отсюда по линейному закону фильтрации найдем скорость филь-

трации:

Дебит скважины

к dp М dr

к Рк

(42, XXII)

27rrh

2iikh Pk - Pc

(43, XXII)

t. e. мы получили формулу Дюпюи.

Формулы (41, XXII), (42, XXII) и (43, XX) полностью совпадают с соответствующими формулами, выведенными в § 2 главы IX.

Аналогично предыдущему легко получить формулы распределения давления, скорости фильтрации и дебита скважииы при одномерном и радиальном установивгаемся движении сжимаемой жидкости в пористой среде, полностью совпадающие с соответствующими формулами § 1 и 2 главы XI.

Сравнение общих регаений (29, XXII) и (39, XXII) уравнения Лапласа для одномерного и плоско-радиального потоков позволяет сделать важный вывод: формулы плоско-радиального движения могут быть получены из формул одномерного движения, если в последние вместо x подставить In г.

3. Уравнения движения газов в пористой среде

1. Дифференциальное уравнение движения идеальных газов в пористой среде по линейному закону фильтрации

При выводе дифференциального уравнения движения газа в пористой среде исходные уравнения те же, что для движения сжимаемой жидкости, только вместо уравнения (17, XII) следует взять уравнение состояния газа, в условиях изотермического течения имеющего вид (см. § 3 главы XII):

е = &т (44, XXII)

где д и ат - плотность газа при давлениях р и рат •

Подставляя в уравнение (18, XXII) вместо плотности д ее значение из уравнения (44, XXII) и сокращая полученное уравнение на ностоян-

ныи множитель --, имеем:

д f др\ mpL др

дх \ дх J ду \ ду J dz \ dz J к dt

(45, ХХП)

др 1 др

др 1 др

дх 2 дх ду 2 ду

и р

др 1 др

dz 2 dz

(46, ХХП)

Подставляя вместо произведений, стоящих в круглых скобках в уравненнй (45, ХХП), нх значения из равенств (46, ХХП) и выполнив дифференцирование, получим:

2m/i др

к dt

(47, ХХП)

Уравнение (47, ХХП) и является искомым дифференциальным уравнением неустановившейся изотермической фильтрации идеального газа по линейному закону фильтрации.

Обозначим

Р=Р2,

тогда

откуда

дР dt

др di

1 р-2 дР

2 df

Внеся в уравнение (47, XXII) эти значения р и получим:

д2р д2р д2р

ггщ дР к dt

р-2 дР

(48, ХХП)

Уравненне (48, ХХП) является нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа; впервые оно было получено

акад. Л. С. Лейбензоном в 1928 г. и опубликовано в журнале «Нефтяное хозяйство» № 10 за 1929 г. в статье «Движение газа в пористой среде». На два года позже, в 1931 г. аналогичное уравнение было опубликовано в США Маскетом и Ботсетом [123 .

Точное регаение уравнения (48, XXII) до сих пор егце пе получено даже для простейгаих случаев одномерной и радиальной неустановивгаейся фильтрации газов. Акад. Л. С. Лейбензоном в 1928 г. предложены приближенные методы интегрирования уравнения (48, XXII), изложение которых дается ниже.

2. Установившееся движение идеального газа в пористой среде по

линейному закону фильтрации

В случае установившейся фильтрации газа

О, следователь-

но, правая часть уравнений (47, XXII) и (48, XXII) равна нулю и они обрагцаются в уравнение Лапласа

(49, XXII)

Дифференциальное уравнение (49, XXII) установивгаейся фильтрации газа отличается от дифференциального уравнения (23, XXII) установивгаейся фильтрации несжимаемой жидкости лигаь тем, что под знаком оператора Лапласа в первом случае стоит Р = р, а во втором - давление р. Поэтому нри регаении задач о распределении давления газа в пласте можно воспользоваться формулами для распределения давления в случае установивгаейся фильтрации несжимаемой

жидкости, в которые вместо давления р следует подставить р

Произведя такую замену в формулах (27, XXII) и (37, XXII), получим уравнения распределения давления при установивгаейся фильтрации газа но линейному закону фильтрации, полностью совпадаюгцие с соответствуюгцими формулами, выведенными в главе XII (§ 3 и 4).

3. Неустановившееся одномерное движение идеального газа по линейному закону фильтрации. Решение акад. Л. С. Лейбензона

В случае одномерной изотермической фильтрации в паправлепии оси x (см. модель пласта па рис. 53а) уравнение (48, XXII) принимает вид:

mi дР