Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 [ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Часть I

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Глава I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Введение

Теоретическая механика представляет собой науку об общих законах равновесия, движения и взаимодействия материальных тел. При этом рассматриваются ие реальные физические тела, а их модели: материальные точки, системы материальных точек, абсолютно твердые (недсформируемые) тела. Использование этих моделей позволяет существенно упростить описание тех или иных явлений, сохраняя при этом их важнейшие особенности. Однако при рассмотрении многих вопросов существенными являются ие только движения тех или иных тел, но и их деформации, то есть изменения их формы и объема. В этих случаях модели, используемые в теоретической механике, оказываются непригодными.

Естественным продолжением и развитием теоретической механики является наука, изучающая поведение деформируемых сред. Эта наука -механика сплошных сред - рассматривает физические тела как сплошные деформируемые среды, то есть так же, как и теоретическая механика, оперирует моделями.

В ряде случаев, например, при движении газов, процессы, проистекающие в деформируемых средах, тесно связаны с термодинамическими явлениями в этих средах. Поэтому в основе механики сплошных сред лежат как законы теоретической механики, так и законы термодинамики.

Механика сплошных сред является теоретической базой таких дисциплин как гидромеханика ньютоновских и неньютоновских жидкостей, газовая динамика, подземная гидромеханика, теория упругости, теория пластичности.

§1. Гипотеза сплошности

Явления, рассматриваемые в механике сплошных сред, в частности, в механике жидкости и газа, носят макроскопический характер. Это иозво-

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

ляет абстрагироваться от молекулярного строения вещества и рассматри-

вать физические тела как сплошные среды.

Сплошная среда представляет собой материальный континуум, то есть непрерывное множество материальных точек с непрерывным (в общем случае - кусочно-непрерывным) распределением по нему кинематических, динамических, термодинамических и иных физико-химических характеристик рассматриваемой среды.

С физической точки зрения принятие модели сплошной среды означает, что при макроскопическом описании всякий «бесконечно малый» объем содержит достаточно большое число молекул. Например, кубик воздуха с реб-

ром 10" мм содержит 27-10 молекул. Отсюда видно, что предлагаемая идеа-шзация не будет применимой лишь при очень больших разрежениях.

Отметим еще раз, что понятие «сплошная среда» представляет собой модель реальных сред. Использование такой модели в механике жидкости и газа и ряде других областей оправдывается тем, что полученные на ее

основе результаты подтверждаются экспериментально и всесторонней апробацией на практике. В качестве примеров можно указать на расчеты течений в трубопроводах различного назначения, истечения жидкостей и газов через сопла, фильтрации через пористые среды и т.д.

§2. Методы описания движения сплошной среды

При количественном изучении движения всегда подразумевается, что фиксирована некоторая система координат, относительно которой это движение рассматривается. Пусть в пространстве фиксирована система координат 0X1X2X3 с ортонормированным базисом

1,253 (рис. 1.1). Закон движения индиви-

дуализированной материальной точки задается, как известно, в виде функций ее координат от времени / в виде

Xi(t),

(1.1)

ИЛИ, в векторной форме

R = eiXiit).

(1.2)

Рис. 1.1

Ортонормированный базис - совокупность трех взаимно перпендикулярных единичных векторов. Здесь и далее, если специально не оговорено, буквенные индексы принимают значения 1, 2, 3 и по

повторяющимся индексам производится суммирование, т.е. СХ- = С-Х- .

~ D{X,,X2X,)

дХ dXj <Xj dXj dXj dXj

dX Xj

dXj dXj dXj

dXi ЭХ2

и соотношения (1.3) могут быть разрешены относительно материальных координат

Х =XiXi,t). (1.5)

Под выражением а = dip,, t] в дальнейшем всюду подразумевается, что а = а(Ь[, , Ь, t).

Величины Xi называются пространственными координатами точки.

Опнсанне движения сплошной среды означает, по определению, задание движения всех материальных точек, образующих рассматриваемый континуум. В качестве «меток», позволяющих отличать одну материальную точку от другой, МОЖНО использовать пространственные координаты этих точек в какой-либо момент времени t = t.

Обозначим пространственные координаты материальных точек сплошной среды при t = через . Тогда закон движения сплошной сре-ды МОЖНО представить в виде

или, в векторной форме,

R = e,x,(X,t). (1.4)

Из правила задания «меток» следует, что соотношения (1.3) и (1.4) удовлетворяют равенствам

Xi = Xi(Xj,to),Ro = eiXi(Xj,to). Координаты Xi называются материальными координатами. Замечание: в качестве «меток» могут быть использованы любые взаимно однозначные функции материальных координат = д(Х).

Функции (1.3) считаются непрерывными и имеющими непрерывные частные производные но всем своим аргументам. Из физических соображений ясно, что в любой момент времени каждой материальной точке сплошной среды соответствует одна и только одна точка пространства и обратно - каждой точке пространства соответствует только одна материальная точка. Следовательно, при t >tQ функции (1.3) задают взаимно однозначное соответствие между материальными Xi и иространственны-ми Xi координатами. Последнее означает, что якобиан

Эд: Эд: Эд: