Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 [ 155 ] 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

div pw = О,

w = -- (grad p + pf], (23.8)

p = p{p\ m = Mp\ = Hp\ m = dp)

которая после пренебрежения массовыми силами и введеиия обобщенной функции Лейбеизона, преобразуется к виду (19.21)

pw = - grad Р ,

р = р[р\ т = т[р\ k = k[p\ р = р[р),

p(p)dp.

в качестве уравнений состояния среды и жидкости воспользуемся уравнениями состояния упругой жидкости и упругой пористой среды в ранее иолучеииой форме (19.24) и (19.42):

р = Р,\+РЛр-Р,)1 (23.10)

т = то+Д(р-ро)- (23.11)

Для ироиицаемости и вязкости примем k = const и р = const, однако заметим, что, как показывают результаты лабораторных эксиеримеитов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев наряду с измеие-иием иористости вследствие возникающих деформаций, происходят и изменения ироиицаемости пластов. Особенно это относится к глубоко залегающим месторождениям углеводородов. Понятно, что данное обстоятельство ие учитывается в рассматриваемой модели. Однако введение еще одного уравиеиия состояния k = k{m{p)) приведет к существеииому усложнению модели. Поэтому, несмотря иа то, что развитию теории упругого

процент от извлекаемых запасов. Так, иаиример, иа круниейшем месторождении Теигиз при упругом режиме будет отобрано до 20% запасов иефти.

Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде необходимо воспользоваться уравнением иеразрывиости потока, уравнениями движения (законом Дарси) и уравнениями состояния пористой среды и насыщающей ее жидкости. При этом воспользуемся математической моделью, оиисаииой в главе XIX, с системой уравнений (19.8):

§4. Вывод дифференциального уравнения фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси

Обратимся теперь к математической модели неустановившегося движеиия упругого флюида, подчиняющегося закону Дарси, в деформируемой пористой среде (23.9) с уравнениями состояния (23.10) и (23.11) и при k = const, /J. = const. Полная система уравиеиий имеет вид

-ДР = 0, dt

pw = - grad Р, р = Pq[1 + Лр - Ро)1 т = /По + А(р-ро). k = const, р = const.

Понятно, что все уравиеиия системы определяют математическую модель, ио для постановки и решения задач в рамках модели желательно преобразовать уравиеиия и получить одно диффереициальиое уравиеиие для одной искомой функции. Для этой цели рассмотрим первое уравиеиие системы.

Подставив в него функцию Лейбензона, получим

Э{тр) k

pdp. (23.12)

dt р

Теперь преобразуем выражение в левой части уравиеиия (23.12), для чего используем уравиеиия состояния упругой жидкости и упругой пористой среды (23.10) и (23.11)

и вычислим произведение тр

тр = т,р, + {m,pj + pj,){p - Ро) + РоЯЛАр - Pof •

Последним слагаемым в правой части получеииого выражения ввиду его малости по сравиеиию с двумя другими слагаемыми можно пренебречь

режима с учетом зависимости k = k{m{p)} иосвящеио большое число исследований, изложение этого раздела в более общей постановке заметно усложнило бы изложение, и авторы считают целесообразным, сохранив традиционный подход, рекомендовать читателям обратиться к посвящеи-иым этому вопросу монографиям самостоятельно.

(иапомиим, что для иефтей Д. изменяется в дианазоие от 7-10 Па до ЗО-Ю"" Па~, а для пластовых вод диапазон изменения лежит в пределах от 2,7 -10"" Па~ до 5-10"" Па~\ и что коэффициент объемной упругости пласта составляет Д = (0,3 - 2} Ю" Па~). Тогда, с учетом (23.5), получим

= т„д [l + Д (р - А)/т„

откуда после диффереицироваиия выражения но времени t находим

Теперь преобразуем правую часть равеиства (23.12)

(23.13)

Подставив иод знак интеграла уравиеиие состояния упругой жидкости (23.10), получим

г .,2 л Л

РоР + рЛ

(23.14)

но снова учитывая, что жидкость слабосжимаемая и коэффициент р мал, иренебрежем вторым слагаемым и в результате получим

pdp] = -pAp. (23.15)

Подставив (23.13) и (23.15) в исходное дифференциальное уравиеиие (23.12), получим дифференциальное уравиеиие отиосительио давления

/=ДР. (23.16)

Э р

или в декартовой системе координат

Эр Э

= л:

ЭЭЭ Эд: Эу Эг

где введено обозначение

kl[pf3

(23.17)

(23.18)

Уравиеиие (23.16) - основное дифференциальное уравиеиие теории упругого режима фильтрации. По иредложеиию В.Н.Щелкачева, оио названо уравнением иьезоироводиости. Дифференциальное уравиеиие иьезо-ироводиости относится к уравнениям тина уравиеиия теилоироводиости (уравиеиия Фурье), которое является одним из основных уравнений математической физики.

Коэффициент к, характеризующий скорость иерерасиределеиия пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в