Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [ 61 ] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

то система параметров, определяющих класс явлений, то есть р и

обладает свойством полноты. Поэтому зависимость вида (10.28) физически невозможна. Добавив в число определяющих параметров некоторый линейный размер Г, положим

A = f

du , dy du

(10.29)

Легко видеть, что параметры /?, -, Г обладают независимыми раз-

мерностями. Тогда в соответствии с П -теоремой теории размерностей из функциональной зависимости (10.29) имеем

А = Ср

du dy

Г, С = const.

Выполняя необходимые вычисления, ход которых подробно изложен в гл. V, получаем

А = СГр

= pV

л du

r=A- = pV dy

(10.30)

что в точности совпадает с формулами (10.27).

Так как форма кривой U = U{y) определяется ие только первой производной, но и производными более высокого порядка, то предположим, что

A = f

du du Р

dy dy

Параметры /?, обладают независимыми размерностями. Поэто-dy dy

му иа основании П -теоремы можем записать

А = Ср"

После соответствующих вычислений имеем

А = кр

Т = К р

du dy

(10.31)

где к = const - некоторая эмпирическая константа.

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

Формулы (10.31) были получены иным, более сложным путем, немецким гидромехаником Т. фон Карманом в 1930 г.

Как было выше показано, формулы Прандтля (10.30) получены из рассмотрения двух точек в турбулентном потоке. Формулы Кармана (10.31) не содержат линейного размера и, следовательно, свободны от этого усло-

вия.

Соотношения (10.30) и (10.31) представляют собой различные реологические модели для турбулентного течения вязкой жидкости.

Заметим, что формулы (10.30) и (10.31) получены, исходя из предпо-

ложения, что поле осредненных скоростей зависит только от одной, поперечной по отношению к направлению потока, координаты. Поэтому они равно справедливы как для плоской, так и для круглой трубы (в предположении осесимметричности течения).

§6. Логарифмический закон распределения скоростей

Рассмотрим, используя схему Прандтля, квазистационарное турбулентное течение по круглой цилиндрической трубе радиуса а. В этом случае

du dy

du dr

{у отсчитывается от стенки трубы к ее оси), и в соответствии с формулами (10.25) и (10.27) полное касательное напряжение ру равно

(jil + A)

du dr

11 + pi

du dr

Так как в ядре потока А » , то

примем, что

du dr

(10.32)

Будем для простоты считать трубу горизонтальной и рассмотрим в ней элемент радиуса г и длиной L (рис. 10.5). Так как движение устапо-

вившееся, то сумма сил, действующих

на выделенный элемент, равна нулю, то есть

Рис. 10.5

Kr(Pi -Р2)-2.7ГгЬт = о.

откуда

Ар г = -г

2L 2L

Тогда напряжение треиия иа стенке трубы равно

т.= - а, " 2L

или, в соответствии с формулой Дарси-Вейсбаха (5.30),

т,=-

(10.33)

(10.34)

(10.35)

Из равенств (10.33) и (10.34) имеем

1=1 - а

и формула (10.32) может быть представлена в виде

(10.36)

Соотиошеиие (10.36) иредставляет собой дифференциальное уравиеиие для определения осредненной скорости й.

Очевидно, что длина пути перемешивания I у стеики трубы и иа оси потока (из соображений осевой симметрии) должна обращаться в нуль. А. А. Саткевичем для ее определения была предложена формула

(10.37)

1= fc,l-[a-r), . а

где fC - эмпирическая константа.

Подставив равенство (10.37) в уравиеиие (10.36), получим

-Kia-rf

(10.38)

Величина = I- имеет размерность скорости и называется дииами-\ Р

ческой скоростью. Так как > О, - < О, то из формулы (10.38) имеем

т„ / \du

- = = -fcia - г,

(10.39)