Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

После выполнения интегрирования по z и получаем

rdr +

щ-r In rdr

Первый интеграл в квадратных скобках легко вычисляется, а второй

интегрируется по частям. В результате получаем

P = Pk

Pk-Pc 2

Pk-P

In Б

Inr,

Rl-r.

преобразуем полученное выражение, добавляя и вычитая в квадрат ных скобках выражение i? 1пг/2. В результате очевидных нреобразова

НИИ получаем

Р = Pk +

Гс(Рк-Рс)

Рк-Р.

2ln{RJry

Поскольку Rfi/fc 1 вторым слагаемым в полученном выражении можно пренебречь и переписать выражение для среднего по норовому

пространству давления в виде

Р = Pk

Рк-Р.

2ln{RJry

(20.25)

§4. Радиально-сферическая фильтрация несжимаемой

жидкости

Перейдем к рассмотрению радиаль-

но-сферическои фильтрации несжимаемой жидкости в изотропном педеформируе-мом пласте. Пусть имеется скважина ра-

диуса г, вскрывшая кровлю пласта, на

забое которой поддерживается постоянное давление Pq . Если предноложить, что

толщина пласта h достаточно большая, то

можно выделить полусферу радиуса (см. рис. 20.8), на поверхности которой

поддерживается постоянное давление Pj

и через которую происходит приток флюида, равный дебиту скважины. Течение

V /

Рис. 20.8. Радиально-сферический

фильтрационный поток

устаиовившееся, и поверхность полусферы представляет собой контур питания. Можно еще принять, что вскрытие кровли пласта имеет форму полусферы, вектор скорости фильтрации в любой точке пласта между контуром питания и забоем скважииы направлен к центру сферы. В этом случае задача имеет сферическую симметрию, и ее удобно решать в сферической системе координат.

Система уравнений для решения задачи остается ирежией и в безии-дексиой форме представляется уравнениями (20.1). В сферической системе координат (см. приложение П.53) уравиеиия (20.1) имеют следующий вид

2 Эр

V Эг, k Эр ц. Эг

J[ Эр

sin (р дв

к 1 Эр

ргЭср

iVn = -

к 1

= 0.

(20.26)

при сделанном иредиоложеиии о сферической симметрии процесса все искомые функции зависят только от г. В этом случае система уравнений (20.26) упрощается и принимает вид

dp dr

= 0.

к dp Ц. dr

(20.27)

Иитегрироваиие первого уравиеиия системы (20.27) приводит к равенству

где С - постоянная иитегрироваиия. Разделяя переменные и интегрируя, получим

откуда р - р = С

Для определения С можно в последнем равенстве положить г = г. В результате будем иметь

C = fe-pJ/(l/r,-l/Kj, но так как R » г, можно положить

C = r,{pk-Pc). и формула для распределения давления примет вид

Р = Pk - rdPk - Рс

(20.28)

kJ

= 0, (20.29)

d\: d

где показатель степени а = 0,1, 2 и может быть назван коэффициентом формы. При а = О имеем прямолниейно-параллельное течение {В, = х), прн а = 1 плоскораднальное течение = г), прн а = 2 раднально-сферическое течение = г). Однако, используя общую для всех трех случаев запись, нельзя получить универсальную форму представления решений, потому что интеграл, задающий распределение давления, вычисляется неоднозначно:

№ Г" , ;d

+ с при а 1 н

= In + С при а = \.

Но представление (20.29) можно использовать как мнемоническое правило для запомниания вида оператора Лапласа в разных вариантах одномерных течений.

§5. Аналогия между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа

Решения, которые получены в предыдущем параграфе для одномерных схем течения, справедливы прн фнльтрацнн несжимаемой жидкости. Обобщим их иа случай фильтрации газа. Для этого рассмотрим математические модели установившейся фильтрации несжимаемой жидкости и газа и установим между ними аналогию. Системы уравиеиий для моделей несжимаемой жидкости и газа имеют, как бьшо показано в предьщущей главе (системы уравнений (19.10) и (19.18) без учета массовых сил, соответственно), следующий вид:

div W = О, div pw = О,

W = - - grad р, W =--grad р,

р = const; р = р(р).

Используя второе уравненне (20.27) н соотношение (20.28), получим

формулу для расчета дебита

, 2 k dp iTTk , \

Q = 2лгЧ = -2m---f =-гДй - pJ.

р dr ц.

Остальные параметры раднально-сферического фильтрациоииого течения могут быть получены аналогично тому, как это сделано в двух первых случаях рассмотренных одномерных течений.

В заключение отметим одно обстоятельство. Нетрудно заметить, что оператор Лапласа для всех трех рассмотренных случаев одномерных течений можно записать с помощью единой формулы