Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [ 172 ] 173 174 175 176 177

В системе координат Оххх, векторы й и х имеют компоиеиты и\, х\, а равенство (П.78) принимает вид

и] = ajX ,

где aj - компоиеиты аффинора в новой системе координат.

Используя формулы преобразования комиоиеит вектора (П.59) и формулы (П.78), из равенств (П.79) имеем

"i = «im"m = «>na„„x„ = ajaax = a],x\,

откуда

Таким образом, при переходе к новой системе координат компоиеиты а, преобразуются по тензорному закону. Следовательно, всякой линейной векторной функции соответствует теизор второго ранга.

С другой стороны, из совпадения формул (П.78) и (П.72) вытекает, что всякому тензору может быть поставлен в соответствие аффинор.

Главные значения н главные нанравлення симметричного тензора второго ранга

Как было показано, теизор второго ранга может быть истолкован как аффинор, то есть теизор Л ставит в соответствие вектору Ь вектор п. Следовательно, иа осиоваиии формулы (П.78)

К=а,,щ. (П80)

Если векторы Ь и /г коллииеариы, то есть bj = Xrij, то вектор п называется собственным вектором тензора Л, а задаваемое им иаиравлеиие -главным или собственным иаиравлеиием тензора. Если п - собственный вектор тензора А, то любой вектор In {l ф о) также будет собственным. Поэтому без ограничения общности можно принять = 1.

Для собственного вектора я соотиошеиие (П.80) принимает вид

Хща,,щ. (П81)

Число я называется главным, или собственным, значением тензора А, соответствующим данному собственному вектору й.

Переписывая покоординатно систему уравиеиий (П.81), получим

(оц - я)п.1 + aijH-j + ау,щ = о,

aiH-i + (аз - Л)п2 + an. = о, (П.82)

а,уПу + а,2Щ + («зз - Х)щ = о,

то есть получим систему из трех лииейиых однородных уравиеиий относительно неизвестных п.,. Для того, чтобы получить решение этой системы.

Кроме тривиального решения Й = о, которое ие определяет никакого направления, необходимо, чтобы детермииат: системы был равен нулю:

21 22 - 2

= 0.

(П.83)

Раскрывая определитель (П.83), получим кубическое уравиеиие отиосительио Л в виде

Jl-JU + JU-J, =0,

Ji = а,:

J, = deta,! =

(П.84)

(П85)

Уравиеиие (П.85) называется вековым, или характеристическим уравнением тензора Л.

Так как величины Jj, J, -з скаляры, то они представляют собой инварианты отиосительио преобразования координат и называются первым, вторым и третьим иивариатгами тензора Л.

Кубическое уравиеиие с вещественными коэффициентами имеет, как известно, по крайней мере одни вещественный корень. Обозначим его через Лу. Подставив зиачеиие Л в систему (П.82) и решив ее, найдем вектор й, определяющий собой собственное направление тензора А, соответствующее собственному значению Л.

Сделаем теперь преобразование координат, при котором новая ось х{ совместтгся с собственным направлением й. В новой системе с ортами ё;,ё2,ёз для любого вектора/ё; {10} из равеиства (П.81) имеем

Лу1 = а{у1, О = ai?, О = ai?, где aj - компоненты тензора А в новой системе координат. Следовательно, в этой системе теизор А будет иметь вид

fЛ, а,-, а, О а,, а, О а.

33 у

J = o.

а характеристическое уравиеиие -

(Я - Я;) [(азз - X) (азз - Я) - азз,

Примем теперь, что теизор А симметричный, то есть азз = аз,. Тогда два других собственных значения тензора равны

(П.86)

Из равенства (П.86) видно, что , - вещественные числа.

Итак, симметричный теизор второго ранга имеет три вещественных собственных значения и соответствеиио этому три собственных иаиравлеиия.

Пусть Лу Ф Тогда из уравиеиий (П.82) имеем

С1:,П)

- собственный вектор, отвечающий собственному значению Л2.

где п

Умножив первую из этих систем иа п.}"*, а вторую иа nf, получим

откуда

ainn - прп) = (Л - . (П.87)

Так как а,=а., то левая часть выражения (П.87) равна пулю, и.

следовательно.

то есть векторы й и й взаимно перпеидикуляриы. Аналогичным образом доказывается ортогональность векторов й и й.

Из доказанного следует, что единичные собственные векторы симметричного тензора второго ранга образуют ортоиормироваииый базис. В этом базисе матрица тензора имеет вид

о о

Л2 о

о о

а формулы (П.85) для иивариаитов тензора -

•Jу = Лу -V Л2 + Л,, к]2 ~ ~ Л2Л, + Л,Лу, , = ЛуЛ2Л,.

Если два собственных значения тензора совпадают, например, Лу Ф Л2 = Л,,то в этом случае любой вектор, лежащий в плоскости, перпеидикуляриой собственному вектору й, является собственным. Это означает, что имеется целая плоскость собственных векторов.

Если Лу = Л2 = Л,, то матрица тензора в любой прямолинейной прямоугольной системе координат имеет вид

а сам теизор А = Лyдj. Такой теизор называется шаровым, так как соответствующая ему поверхность второго порядка - сфера (см. гл. Ш, §4). Из