Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [ 158 ] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Чтобы найтн распределение давления в потоке, необходимо проинтегрировать уравиеиие (23.35) ио х при фиксированном времени t.

г 1 л

dx =

Выполнив нитегрнрованне, получаем

р{х, t) - р{0, t) = wx- w k k

dx. (23.36)

Последнее слагаемое в (23.36) интегрируется ио частям

dx =

k 4ж

Xjl-4 Kt XX

e-"du

о 0 0

xll-Пй

edu - 4кЬ

2л/St

1 - е"

Поэтому уравиеиие (23.36) можно записать в виде

p(x,t)-p(0,t)=x

1 - erf

2Vst

1 - е

-х/л/й

471Х

2л/St

(23.37)

С учетом того, что р(о, t) есть давление иа галерее, т.е. р(0, t) = pr(t), нз (23.37) запишем выражение для давления в любой точке потока:

р{х, t)= р+

1 - erf

2л/St

1 -е"

. (23.38)

Чтобы найтн закон изменения давления иа галерее pp(t), подставим в (23.38) граничное условие p{x,t) = р прн х <». Так как прн х

1, то пронзведенне х

1 - erf

v2Vst

дает неопределен-

v2Vst,

ность вида о= X О. Раскрывая ее ио правилу Лопнталя, можно показать, что

- = к dt

сУр 1 др

(23.40)

дг Г Эг

Начальные и граничные условия задачи следующие: p(r,t)= А при t = О, p{r,t) = p ири*>Оиг, (23.41)

2жкк[ Эр]

Q =- г- = Ц) = const нрн t > 0.

Первое условие означает, что до момента времени i = О во всем пласте давление бьшо постоянным и равным контурному. Второе условие показывает, что граница возмущенной зоны (т.е. значение радиуса, иа котором давление равно контурному) иеремещается с ростом времени и для больших времен стремится к бесконечности. Из третьего условия следует, что дебит скважииы иоддерживается постоянным.

ЭТО произведение стремтгся к пулю. Учитывая также, что е~* " О прн X о=, получаем

Нетрудно видеть, что решение (23.39) нрн очень больших значениях времени теряет физический смысл. В самом деле, так как процесс во времени ие ограничен, то можно указать такие значения t, нрн которых {t) < 0. Полученный результат означает, что иринятое граничное условие - задание (О, t) = const = является слишком «жестким», для его реализации требуются отрицательные давления нрн больших временах t. Реально эти давления возникать ие будут - возникнет кавитация вблизи галереи.

5.2. Плоскорадиальиый фильтрационный поток упругой жидкости. Осиовиая формула теории упругого режима фильтрации

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина «нулевого» радиуса (точечный сток). Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково н равно В момент времени t= О скважина пущена в эксплуатацию с постоянным объемным дебетом Qq. В результате в пласте образуется неустановившийся плоскорадиальиый ноток упругой жидкости.

Расиределеиие давления в пласте (в любой его точке в любой момент времени) (т*, t) определяется интегрированием уравиеиия (23.16), которое

для радиального течения в цилиндрической системе координат имеет вид

Последнее условие запишем в виде

2жкк

(23.42)

Эг Jo iTtkh

Так же, как в предыдущем случае, проведем анализ размерностей. Искомое распределение давления в пласте зависит от пяти определяющих параметров: г,г, S, pj;, Qo l-fefe)Рфностн которых следующие:

[г] = Ш = тАк] = ьт-\\р=\р1

2жкк

где \р\ - размерность давления. Из этого следует, что давление, приведенное к безразмерному виду, Р = р/р, зависит только от двух безразмерных параметров (так как из пяти параметров три имеют независимые размерности [г, t, )), то есть можно записать

P = f

2Vst

(23.43)

2жккр

Таким образом, задача автомодельна, и уравиеиие (23.40) можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Продифференцируем (23.43) и найдем представление частных производных по независимым переменным t н г через производные по автомодельной переменной:

dP I

ЭР dP 1

1 dP

dt d4 2t Эг d4 2Vst Эг 4st d Подставив полученные выражения в уравненне (23.40), получим обыкновенное диффереициальиое уравиеиие

= 0,

(23.44)

которое нужно проинтегрировать при условиях, полученных нз (23.41) преобразованием к безразмерному виду,

Р{4) = \ при 1,

Воспользуемся подстановкой

dP d

2лккр

(23.45)

н из уравнения (23.44) получим

У = О,