Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 [ 171 ] 172 173 174 175 176 177

а матрица диады

Ojbi Ojbj Ojbj а,Ь, а,Ьт а,Ь

Теизор Л*, определяемый траиспоиированиой матрицей (П.68), то есть матрицей

Л* =

(П. 69)

v13 23 33 j

называется тензором, сопряженным с тензором А.

Теизор, компоненты которого удовлетворяют равенствам а, = а,, называется симметричным. Если выполняются равеиства а, = -а, то теизор называется антисимметричным.

Если теизор а. симметричный, то в соответствии с формулой (П.67)

Если теизор а. антисимметричный, то

Таким образом, свойства симметричности и антисимметричности тензоров ие зависят от принятой системы координат.

Из формул (П.68) и (П.69) следует, что для симметричного тензора Л* = Л, то есть симметричный теизор является самосопряженным. Легко видеть, что для антисимметричного тензора Л* = -Л .

Алгебранчеекне операции над тензорами

Пусть даны тензоры с компонентами а и Ъ. Складывая их покомпо-иетгио, имеем

с, =а,+Ь,. (П70)

В соответствии с формулами (П.67)

= счсч„ {а + ) = о:о:„с,

то есть сумма тензоров также является тензором.

Аналогичным образом доказывается, что если умножить все компо-иетгы тензора иа скаляр /?, то получится новый теизор с компоиетга-

ми с,, = Дг,,.

Таким образом, всякий теизор второго ранга может быть разложен иа симметричную и аитисимметричиую части.

Умножение тензора А с компоиеитами а, иа вектор х = ех справа определяется как

А-х = ёах, =Ь (П.71)

или, в координатной форме,

ах, =Ь,. (П.72)

Переходя к системе координат Oxixx из равенства (П.72), с учетом формул (П.59) и (П.67) имеем

Яи = К= fffonfna™; = аах = аЬ . Получеииое выражение представляет собой формулу преобразования компонент вектора при переходе к новой системе координат, и, следовательно, величина Ь действительно является вектором. Таким образом, умножение тензора иа вектор справа представляет собой преобразование одного вектора в другой.

Так как векторы представляют собой величины, иивариаитиые относительно преобразования системы координат, то и теизор есть объект, ии-вариаитиый относительно такого преобразования.

Умножение тензора А иа вектор х слева определяется как

х- А = ёха. (П.73)

Из равенств (П.71) и (П.73) следует, что

Лх = хЛ*, Л*х = хЛ. Рассмотрим теизор с компоиеитами aj. Операция, при которой полагается J = ! и производится суммирование, то есть

называется свертыванием тензора. В результате свертки тензора второго ранга образуется скаляр, который называется следом и обозначается tra,.

или SpOjj.

Теизор второго ранга, след которого равен нулю, называется девиато-ром. Например, теизор с компоиеитами

где а = tra,. является девиатором.

Рассмотрим теизор с компоиеитами aj. В соответствии с правилом сложения тензоров (П. 70) имеем очевидное тождество

«у = \ («у + «if) + \ («- - «if ) = by + c,j,

откуда

= а,х,. (П.78)

Таким образом, аффинор в базисе ё, представляется в виде матрицы а..

Теизор второго ранга называется шаровым, или изотропным, если в любой системе координат его компоиетгы имеют одни и те же значения, то есть если a\j=aj. Введем новую систему координат х\ =-х, х = х, х = х.

В соответствии с формулами (П.67) получим aj", =-О;,, а =-aj, откуда Щ2 = = О. Аналогичным образом доказывается равенство нулю остальных иедиагоиальиых компонент. С помощью преобразования х[ =Xi, Х2 = Xg, Xg = -Х2 показывается, что aj = XSj, где Я - скаляр.

Линейная векторная функция и тензор второго ранга

Закон L, с помощью которого в пространстве устанавливается соответствие между векторами, называется векторной функцией. В символическом обозначении векторная функция имеет вид

й = Lx.

Если для любых векторов х и у и. любого скаляра /3 выполняется равенство

Ь(х + у) = Lx + Ly, (П.74)

L{0}= pLx, (П.75)

то векторная функция L называется линейной, или аффинором.

Пусть аффинор L ставит в соответствие базисным векторам е, векторы й,, то есть

ц =Le,. (П. 7 6)

Так как рассматривается ие преобразование системы координат Оххх, а закон, устанавливающий соответствие между векторами в одной и той же системе, то любой вектор ц однозначно разлагается по векторам базиса и

ц =а,ё,.. (П77)

Рассмотрим произвольный вектор-аргумет: х с компоиеьтгами х, х, х . Тогда для линейной векторной функции й = Lx в соответствии с правилами (П.74), (П.75) и формулами (П.76), (П.77) имеем