Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ГЛАВА III

компоненты тензора ау, записанного в главных осях, называют главными компонентами и обозначаются одним индексом.

главные оси тензорной поверхности в общем случае, как это следует из теоремы гельмгольца, вращаются с мгновенной угловой скоростью О).

рассмотрим скорости деформаций бесконечно малой сферической

частицы

(3.27)

за время dt она преобразуется в эллипсоид вида

2 рп ьз

(3.28)

в соответствии с ранее доказанным, полуоси эллипсоида равны а - + £\dt),

b = R(l + Sidt), с = + edt).

скорость 0 объемного расширения частицы равна

У -V V

lim--4:

эх,-

divi;.

где f" - объем эллипсоида (3.28), V - объем шара (3.27). из определения скорости объемного расширения очевидно, что 0 и div v являются инвариантами относительно преобразования координат.

§5. Циркуляция скорости. Потенциальное движение жидкости

рассмотрим в объеме, занятом движущейся жидкостью, некоторую линию АВ и в каждой ее точке построим вектор 1 (рис. 3.4). скалярное произведение V ds , где ds - элемент линии АВ, не зависит, очевид-

но, от выбора координат. величина

Vgds

(3.29)

рис 3 4 называется линейным интегралом вектора v вдоль кри-

вой АВ или циркуляцией скорости вдоль этой кривой. при интегрировании от 5 до или при изменении направления об-

хода при интегрировании по замкнутой кривой, знак циркуляции меня-

главные оси эллипсоида могут не совпадать с координатными осями Ох[ за счет деформации поворота

СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

ется на обратный. Из этого следует, что циркуляция по замкнутому контуру (рис. 3.5) равна сумме циркуляции по контурам I и П, так как вдоль линии АВ интеграл (3.29) вычисляется дважды, причем в противоположных направлениях.

в соответствии с теоремой Стокса циркуляция скорости V по замкнутому контуру L равна удвоенному потоку вихря со сквозь поверхность S, натяну-

тую на этот контур, то есть

vds = 2 a)ds = 2

cOfids.

(3.30)

Если существует функция (p[xj,t), удовлетворяю-

щая условию

V = Vcp,

(3.31)

Рис. 3.5

то течение называется потенциальным, а функция ср - потенциалом скоростей. В курсах математического анализа доказывается, что для существования потенциала скоростей необходимо и достаточно, чтобы

dv, dv,

дх; Эх,-

(3.32)

Вихрь скорости й, по определению, равен

rot и

dXi дХ2 дх

(3.33)

и из формул (3.36) и (3.37) следует, что если v = V, то й = О, и наоборот,

если й = О, то V = У<р. Это значит, что условие й = О, то есть отсутствие

вихрей, необходимо и достаточно для существования потенциального течения.

Так как элемент кривой АВ ds = efdXfi, то при потенциальном течении в соответствии с формулами (3.31) и (3.32), имеем

eiekdXk

дер Эх,-

dx,-

dcp = ср[В) - ср(А).{ЪЗА)

Следовательно, в этом случае циркуляция скорости зависит только от положения начальной и конечной точек кривой АВ и не зависит от пути интегрирования.

джордж габриэль стоке (1819-1903), английский физик, математик и гидромеханик.

ГЛАВА III

Если потенциал (р неоднозначен, то циркуляция по замкнутому контуру L отлична от нуля. Это может произойти, когда внутри области, ограниченной контуром Z, существуют вихри.

При потенциальном течении циркуляция по замкнутому контуру L не равна нулю только в том случае, если контур L не может быть стянут в точку непрерывным преобразованием, то есть в том случае, если область внутри L многосвязна (рис. 3.6). В многосвязной области потенциал может быть неоднозначным.

В качестве примера рассмотрим течение с потенциалом скоростей

arctg -

(3.35)

На контуре М функция q) однозначна, з. яз.Ь - многозначна (рис. 3.7).

После обхода точки О потенциал получает приращение, равное 27т, где т -число обходов вокруг точки О. Точка О - начало координат - особая. По-

тенциал сохраняет в ней конечное значение, но это значение зависит от пути, по которому совершается подход к точке О.

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Из формулы для потенциала скоростей имеем

2ж г

In г

Вектор V - (р перпендикулярен линии = const и направлен в сторону возрастания функции (р - (р{в). Линии тока - окружности с центром в начале координат (рис. 3.8).