Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [ 124 ] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

типам и относятся, ио при решении задач обычно рассматриваются два первых. Специальных названий два последних типа ие имеют. Подстановка матриц (18.50) в равенство (18.45) или (18.46) дает явный вид закона Дарси для всех типов анизотропии.

Равенства (18.43) представляют собой систему линейных алгебраических уравиеиий, которая может быть разрешена относительно комиоиеит вектора grad р и переписана в виде

В этом случае фильтрационные свойства определяет и задает симметричная матрица коэффициентов фильтрациоииого сопротивления т".. Явный вид матриц 7"., для всех рассмотренных случаев анизотропии и изотропии, такой же, как и у матриц коэффициентов проницаемости, с точностью до замены , k иа соответствующие компоиеиты , г.

Все соотиошеиия (18.49) и (18.50), представленные в виде матриц, допускают и другую, индексную форму записи. Для индексного представления законов фильтрации в анизотропных пористых средах введем понятие диадиого произведения двух векторов (см. приложение П.68)

(18.51)

где а.,&. - компоиеиты векторов а и & .

Далее в качестве векторов а и & возьмем векторы декартова базиса 6,62,63, координаты которых обозначим через e\e\ef \ соответственно. Нетрудно убедиться, что с помощью базисных тензоров можно составить девять диад, которые будут представлять собой девять специальных матриц типа (2.9), у которых все компоиеиты, кроме одной будут равны нулю, едииствеииая отличная от нуля компоиеита будет стоять иа «ij-й позиции» при умножении i-ro базисного вектора иа j-и базисный вектор. В самом деле, рассмотрим для примера диадиое произведение иа 62. Тогда имеем (1,0,0), е = (о,1,о), и, согласно определению (18.51), матрица для этой диады будет представляться соотношением

(О 1 o

ее = 4W =000 ООО

Используя диадиые произведения базисных векторов, матричное представление можно переписать в индексной форме, разложив матрицы по базису из диад ерЦ Например, для самого общего типа аиизотропии такое представление будет иметь вид

. hMef - Ще - Кз4Ч -

(18-52)

W, = -

Уменьшая число отличных от нуля коэффициентов тензора k, можно

получить закон фильтрации для любого типа анизотропных и изотропных пористых сред. Например, для ортотропиых сред закон фильтрации будет иметь вид

W, = -

для траисверсальио-изотропиых 1

W. = -

Эд:,

для изотропных

W: = -

Эд:,

(18.53)

(18.54)

(18.55)

Последнее выражение можно преобразовать, заметив, что в квадратных скобках стоят три матрицы, которые в сумме дают единичную матрицу

(\ О

О 1 О

О О 1

Для обозначения единичной матрицы используется специальный символ 8, который называется дельтой Кроиекера. Поэтому последнее равеи-ство (18.55) можно переписать в виде

к с- Эр*

или, после проведения суммирования

W: = -

k Эр*

М дХ:

Используя правило вычисления иаправлеиной проницаемости (18.48), несложно вычислить ее для самого общего случая (18.50):

+ fe, (еУр + eJ") + fe,, (ef + )] щп, =

+ fejj cos a + 2fejj cos or cos /3 + cos 0 + fe,, cos у + + 2fej3 cos or cos у + 2fej3 COS cos 7,

где or, , 7 - углы, которые образует единичный вектор п с координатными линиями.

Уменьшая число отличных от нуля коэффициентов тензора fe., можно

поучить выражение для иаправлеиной проницаемости для любого типа аиизотроииых и изотропных пористых сред.