Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Пусть это возмущение в момент времени t достигло сечеиия I - I, а в момент t + dt - сечения II - П. За время dt между указанными сечениями параметры течения газа меняются, то есть рассматриваемое течение будет неустановившимся. Для его изучения воспользуемся законом сохранения массы (2.29) и законом изменения количества движения (2.49).

В течение промежутка времени dt скорость, давление и плотность газа в сечении I - I изменяются и достигают значений Щр и /\, а в сечении II - II скорость равна нулю, а давление и плотность постоянны - р, (возмущение еще не успело дойти до этого сечения). Поэтому в момент t + dt , то есть в конце рассматриваемого промежутка времени, уравнение (2.29) и уравнение (2.49) в проекции иа ось трубы Ох запишутся в виде

СЭ{ри)

dV =

p,v,dS,

p,vdS = P,+T,

(15.2)

(15.3)

где S, - площадь поперечного сечения трубы. Проекция главного вектора

N нормальных составляющих реакций стенок трубы иа ее ось, очевидно, равна нулю, а весом газа пренебрегаем.

Сила давления, действующая иа объем газа между сечениями I-I и II-II в момент t + dt , равна

(15.4)

а сила трения

(15.5)

где - среднее за время dt и иа длине с dt иаиряжеиие трения иа стенке трубы, - ее смоченный периметр. За время dt плотность газа иа рассматриваемом участке трубы меняется в пределах значений р до р,, а скорость - от нуля до V,. Поэтому на интервале dt

dp dt

dp dt

dt = Р,- pQ,

d[pv)

ср V ср

где значок «ср» также означает среднее значение за время dt и но объему V.

Элемент объема dV можно представить в виде

dV = cdtdS. (15.7)

Подставив соотиошеиия (15.4) - (15.7) в уравиеиия (15.2) и (15.3), получаем приближенно (из-за иесовпадеиия средних и точных величии)

Ы- Ро)с- p,v,]dS=(), (15.8)

(РЛС - pvl)dS = = {p-p)S- тхсdt . (15.9)

Учитывая теперь, что рассматриваемое течение одномерное, то есть все параметры распределены по сеченню трубы равномерно, н считая газ идеальным (т = = О), переходим к пределу при dt О и из равенств

(15.8) и (15.9) получаем

{Pi-Po)c = m, Piihc-p,vl = р,-Pq. (15.10)

Исключив из соотношений (15.10) скорость У, имеем

c=A.A:iP, (15.11)

Ро Pi - Ро

Скоростью звука а называется скорость бесконечно малых возмущений, то есть

а = lim с,

Pi-Po Pi-Po

поэтому в соответствии с формулой (15.11) получаем

а= MPLh = (15.12)

PiPopoPi-po dp

Р\->Ро

Заметим, что прн выводе формулы (15.12) нигде ие использовалось то обстоятельство, что рассматриваемая среда является газом. Следовательно, эта формула справедлива для любой сжимаемой среды. Так как давление р и плотность газа р связаны между собой уравнением состояния (15.1), то для вычисления скорости звука а необходимо задать вид термодинамического процесса, связанного с распространением звука.

Предположим, что этот процесс изотермический, то есть что Т = const. Обозначив через а-р скорость звука, вычислениую в этом предположении, из уравиеиий (15.1) и (15.12) получаем

ар = W = 4Rf. (15.13)

Для воздуха газовая постоянная R = 287 -, и для температу-

сград

ры Т = 293°К имеем а-р = 290 м/с, что заметно отличается от результатов эксперимента, и, следовательно, формула (15.13) непригодна для опре-

деления скорости звука. Предположим поэтому, что процесс распростра-иеиия звука является изэитроиическим, то есть в этом процессе соблюдается уравиеиие (7.38), или

г \ Р

Тогда с учетом уравиеиия состояния (15.1) получаем

а1 = = крЛ

Ро Р

= kRT.

(15.14)

(15.15)

dp - pl pl p p где - скорость звука, подсчитанная в предположении нзэнгропичности

процесса. Для воздуха показатель адиабаты к = \,4, и при R = 287 -,

с град

Т = 29Ъ°К по формуле (15.15) получаем а = 343м/с, что очень хорошо согласуется с результатами измерений. Поэтому в дальнейшем для онределения скорости звука в газе будем пользоваться формулой (15.15).

§2. Закон сохранения энергии

Для вывода закона сохранения энергии нрн установившемся одномерном течеьшн идеального, то есть невязкого, газа воспользуемся уравнением (2.70) и соотношением (4.3), в соответствьш с которым для идеального газа Рп= Рпп = ~ Р В этом случае pni= О, и уравиеиие (2.70) принимает вид

-и+и

Р , V

Р 2

pvdS -

-и + и

Р , V

Р 2

pvdS =

pqdV.(\5.\6)

Так как течение, но условию, одномерное, то выражения в скобках могут быть вынесены из-иод знака интеграла. Кроме того, нрн установившемся течении

pvdS =

pvdS = Q„

(15.17)

S2 Si

С учетом сказанного и формулы (15.17) уравнение (15.16) может быть переинсано в виде

-и+и

Р 2

-и+и

Р 2

pq,dV. (15.1;

Уравнение (15.18) выражает собой закон сохранения энергии нрн одномерном установившемся движении идеального газа. В дальнейшем нрн изучении движения газа будем пренебрегать влиянием массовых сил, в частности весом, то есть считать, что П = 0.