Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [ 125 ] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Глава XIX

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

§1. Вводные замечания. Понятие о математической модели физического процесса

Для количествеииого описания реальных физических процессов используются различные уравиеиия и методы их решения для конкретных задач. Как отмечалось выше, в качестве наиболее используемого и разработанного метода такого описания процессов в подземной гидромеханике применяется макроскопический, в основе которого лежат гипотеза сплошности, законы и методы механики сплошной среды. Поэтому нефтегазовую подземную гидромеханику следует рассматривать как специальный раздел механики сплошной среды.

Повторим основные положения, используемые в механике сплошной среды при построении математических моделей, но с учетом специфики нефтегазовой подземной гидромеханики.

В сплошной среде определяются различные по своей физической природе поля, которые формируются под воздействием внешних и виутреииих факторов и могут изменяться во времени и в пространстве. Изменение полей основных физических величии подчиняется законам сохраиеиия, которые представляют собой фуидамеитальиые законы природы. В нефтегазовой подземной гидромеханике, как и в других разделах механики сплошной среды, основными законами сохраиеиия являются законы сохраиеиия массы, изменения количества движения (импульса) и момента количества движения (момента импульса), сохраиеиия энергии и баланса эитроиии. Однако законы сохраиеиия выполняются для всех сплошных сред, свойства которых могут быть весьма различными. Поэтому одних законов сохраиеиия для описания физических процессов и решения конкретных задач недостаточно для получения замкнутой системы уравнений. Для того чтобы задать свойства конкретных сплошных сред, к законам сохраиеиия добавляются определяющие уравиеиия и законы, которые задают особенности поведения данной среды. В результате объединения законов сохраиеиия и определяющих уравнений получается замкнутая система уравнений, в ко-

торой число уравиеиий равно числу неизвестных функций и которая определяет и задает математическую модель сплошной среды, описывающую конкретные физические процессы.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только таких процессов, для которых температура движущегося в пористой среде флюида равна температуре пористой среды и остается иеизмеииой. Действительно, из-за того, что фильтрация представляет собой очень медленный процесс, изменение температуры флюида, возникающее в ходе движения вследствие наличия сопротивления стеиок поровых каналов и трещин, а также из-за расширения флюида при уменьшении давления, успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами. Для таких изотермических процессов, как бьшо показано Б.Б.Лапуком, уравиеиие энергии можно ие рассматривать.

Однако в ряде случаев при разработке нефтяных и газовых месторождений иеизотермичиость фильтрации проявляется локально в призабойной зоне скважии вследствие значительных перепадов давления. Изучение ие-изотермических процессов имеет важное значение в связи с повышением нефтеотдачи путем закачки в пласт теплоносителей (горячей воды, пара), разработки газогидратиых месторождений и в некоторых других случаях. При этом в модель должно быть добавлено уравиеиие закона сохранения энергии.

Для описания конкретных физических процессов и получения решений соответствующих задач, необходимо сформулировать постановку задачи, то есть задать условия в начальный момент времени и условия иа границах области пласта. В результате имеем дифференциальные уравиеиия с начальными и граничными условиями, интегрируя которые можно определить распределение давления и скоростей фильтрации по пласту в любой момент времени, т.е. построить функции

Р = p{x,y,2,t), =W{x,y,2,t),

Wy = Wy(x,y,z,t), = w(x,y,z,t).

Если рассматривается несжимаемая жидкость [р = const) в иедефор-мируемом пласте [т = const, k = const), то число искомых функций ограничивается только этими четырьмя. Для описания фильтрации сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде, кроме упомянутых функций, нужно определить еще плотность флюида р. Для более сложных процессов в число неизвестных функций включают вязкость р, пористость т и проницаемость k . В этом случае необходимо иметь восемь уравиеиий - дифференциальных и конечных - для определения восьми характеристик фильтрациоииого потока, жидкости и пористой среды.

dt dt

mpdV.

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений удается получить лишь в ограиичеииом числе простейших случаев, например, в задаче о притоке упругой жидкости к скважине в пласте бесконечной протяжеииости с постоянным дебитом.

В более сложных случаях система уравнений решается численными методами с примеиеиием компьютеров. Существуют хорошо разработанные числеииые методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидромеханики. Упомянутые аналитические решения играют очень важную роль: иа них опробуются числеииые методы.

Систему дифференциальных уравнений можно использовать также для качественного исследования процесса. Если полученные уравиеиия привести к безразмерному виду, то в качестве коэффициентов будут фигурировать безразмерные параметры подобия. Анализируя их строение и числеииые значения, можно судить о том, какие силы играют решающую роль в процессе, какие члены в уравнениях можно отбросить и т.д.

Перейдем теперь к формулировке основных законов сохраиеиия с учетом специфики подземной гидромеханики.

§ 2. Закон сохранения массы в пористой среде

При написании закона сохраиеиия массы в иитегральиой формулировке воспользуемся контрольным объемом и вычислим массу флюида в контрольном объеме пористой среды.

Масса жидкости, содержащаяся в бесконечно малом (физическом) объеме пористой среды равна mpdV. В самом деле, объем пор в элементарном объеме пористой среды, равен dV = mdV. Умножив его иа плотность, получим массу флюида в элементарном объеме пористой среды -

dM = pdV = pmdV.

Проинтегрировав выписаииое соотиошеиие по всему контрольному объему, получим массу флюида в контрольном объеме

М= mpdV.

Так как через контрольную поверхность флюид может втекать и вытекать (см. рис. 19.1), то масса флюида изменяется во времени. Изменение массы по времени вычисляется следующим образом