Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

fgfeo*)

dV, г - -Jfe - xq) + [xj - + fe - дзо)

как легко видеть, является гармонической и описывает течение в области D от иенрерывио расиределеииых в объеме Xq источников с плотностью q. Аналогично можно определить для иоверхиости Sq , линии , ие принадлежащих D, нотеициалы

п[х,, t)

4л: J г

где т, п - илотиости распределения иоверхиостиых и линейных источников.

Эквипотенциальные иоверхиости (р = const представляют собой сферы с центром в точке [х, дг, Дзо) Скорость течения v =У(р иаиравлеиа но нормалям к этим сферам, то есть но радиусам, которые являются линиями тока. При этом

(7.98)

dr 4лг

и при г = const v. = const.

при 7* о о=, то есть центр сферы является особой точкой, в которой иересекается бесконечное множество линий тока.

Расход через поверхность 5 сферы произвольного радиуса равен

vda = У, dS = А7гг\ = Q{t).

Если Q{t) > О, то скорости течения направлены от центра сферы, в центре имеется источник жидкости с иитеисивиостью Q{t); если Q{t) < О, то там имеется сток.

Из формулы (7.98) видно, что если иитеисивиость источника (стока) меняется во времени, то одиовремеиио меняются скорости во всей области, занятой жидкостью, то есть возмущения в несжимаемой жидкости передаются с бесконечно большой скоростью (мгиовеиио).

Итак, формула (7.97) определяет нотеициал скорости от источника (стока) в иростраистве.

Благодаря линейности уравиеиия Лапласа функция

также является его решением и описывает течение, возникающее при наличии п источников (стоков).

Возьмем некоторый объем Хо ие области D, занятой движущейся жидкостью. Пусть xq соответствуют точкам объема Xq . Тогда функция 1

ТЕЧЕНИЯ идеальной ЖИДКОСТИ

2. Рассмотрим в точке N{xiq) сток, а в точке Ni{xiq + dx) источник.

При этом будем считать, что интенсивности источника и стока Q по величине одинаковы. Потенциал в точке которую считаем неподвижной (рис. 7.6), от совокупности источника и стока равен

4щ Аж 4zis

1 1

, г-л{х1 Xjq) +(2 20) +(3 *зо) • (7.99)

Пусть теперь точка неограниченно приближается к точке N, а произведение QAs = т остается постоянным. Тогда из формулы (7.99) полу-

т 1 lim

4Л" AsO As

1 1

4л: ds

т 4л-

где S

единичный вектор прямой.

соединяющей точки N и Ni. Величи-

/1 л

на V

вычисляется в точке

причем, так как точка М неподвижна, то дифференцирование производится по координатам хо и

/ 1 л

/ 1 л

/у» /у»

Тогда

Рис. 7.6

т г S

т cos в

(7.100)

4л" г 47Г г

Такая комбинация источника и стока называется диполем, величина т -

моментом диполя, а ось, проходящая через точки NviN\- осью диполя.

Совместив ось диполя с одной из координатных осей, легко показать,

что и функция (р, определяемая равенством (7.100), является гармоничес-

кои.

§9. Обтекание сферы

Рассмотрим движение сферы в бесконечной несжимаемой идеальной жидкости. Предположим, что в бесконечности жидкость покоится. Вблизи сферы будет существовать некоторая возмущенная область. Если движе-

ГЛАВА VII

ния сферы и жидкости возникли непрерывным образом из состояния покоя, то, как это следует из теоремы Томсона, движение жидкости будет потенциальным.

Составим условия для определения потенциала этого движения. В соответствии с равенством (7.94) внутри жидкости = О. Так как жидкость

на бесконечности покоится, там = 0. На поверхности сферы из усло-

вия непротекания жидкости (4.20) имеем = где - нормальная со-

ставляющая скорости сферы и в точках ее поверхности. Так как v

то это условие приобретает вид

д(р ди

Таким образом, задача об отыскании потенциала скоростей при обтекании сферы

свелась к решению уравнения Лапласа, когда на границе задана нормальная производная. Эта задача представляет собой классическую задачу Неймана.

Пусть сфера радиуса а движется по-

Рис. 7.7

ступательно со скоростью U. Введем систему координат Охуг, жестко связанную

со сферой, и направим ось Ох i параллельно скорости и (рис. 7.7).

Возьмем диполь с осью, параллельной оси Oxj, и поместим его в начало координат.

Из формулы (7.100) имеем

т cos в

4л: г

(7.101)

В любой точке пространства М

и при в = О (рис. 7.7) в точке А сферы

т cos в

д(р дг

Формула (7.101) имеет место и в неподвижной системе координат в момент времени, когда центр сфе ры находится в ее начале. В любой другой момент времени в неподвижной системе координат

т cos в

4л- (:

где Tq - координата центра сферы при t = t.