Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Эх dXi{x],t) dt ~ dt ~

где ijjiep - проекции скорости переиосиого движения Vj,p. По формуле Эйлера

где vq - скорость начала координат 0\ а - мгиовеииая угловая скорость вращения координатной системы 0х[х2х, г - радиус-вектор точки М в этой системе.

В иеподвижиой системе Ох-,Х2Х потенциал скоростей зависит от xt - (р = g){Xi,t). Подставив в это выражение закон движения (1.16), получим

потенциал (р, = (р х[х,{}, выраженный через координаты подвижной системы. Тогда

Э(р, д(р д(р Эх

dt dt dXi dt или, с учетом формул (7.68),

d d(p dt dt dt

Теперь интеграл Коши-Лаграижа (7.65) может быть представлен в виде

-V-n+P + =/W. (7.69)

Положим что система (SxXjXj движется относительно иеподвижиой системы OxXjXj со скоростью ур = ey{t). Тогда равенство (7.69) принимает вид

-.,Fi;-n + P + = -F-n+P + l(Vf =/«. dt 2 dt dx \ 41 i \ I

§6. Теорема Томсона

Возьмем в жидкости некоторую линию АВ и будем считать, что все ее точки движутся вместе с жидкостью, то есть что АВ - жидкая линия. Ее уравиеиие можно представить в виде f = f{s,t), где s - некоторый параметр, изменяющийся вдоль линии, например, длина дуги. При s = const г = rit) - закон движения какой-либо точки жидкой линии АВ.

Тогда при фиксироваииых значениях х

= щ... (7-68)

ГЛАВА VII

Рассмотрим циркуляцию скорости

(7.70)

взятую вдоль АВ и вычислим производную

dr dt

. При этом необходимо учи-

тывать, что с течением времени меняется на только скорость точек, обра зующих линию АВ, но и вид самой линии АВ.

Вычислим предварительно производную по времени от интеграла, взя того вдоль жидкой линии. С учетом определения интеграла имеем

d dAn

(pdr = - lim V (PiAPj = lim

dtOT afo

dt J

Гак как An = s As, где

(рис. 7.5), то

единичный вектор касательной к АВ

dt J

(pdf

d(p dt

dr +

dv J q) - ds.

(7.71)

(7.72)

Рис. 7.5

Полагая в формуле (7.72) ф = v ,ш формулы (7.70) имеем

dr dt

dr +

Эи , V - ds

dr +

n dv

2 ds

Cdv , 1,2 2

dr + - \vi - V

(7.73)

Заметим, что формула (7.73) чисто кинематическая, то есть справедлива при любых движениях любой жидкости.

Если АВ - замкнутый контур, то второй член в формуле (7.73) пропадает.

Подставив в формулу (7.73) уравиеиие Эйлера (7.3), получаем

dT dt

Fdr-

1 1 / т

- Vpdr+ - \vi - V р 2

(7.74)

АВ АВ

При наличии потенциала иапряжеиия массовых сил, когда F = УП, формула (7.74) приобретает вид

= ГП- \-dp + Uvl-vl\ (7.75)

dt J J р 2

АВ АВ

где dU, dp - дифференциалы, взятые вдоль дуги кривой АВ.

Если кривая АВ замкнутая, а потенциал П - однозначная функция, то из равенства (7.75) получается

- = -S)-dp. (1.16)

dt J р

В случае баротропиого процесса

- dp=dP, (£(/Р = 0, р J

и из формулы (7.76) имеем

- = 0. (7.77)

Равенство (1.11) выражает собой теорему Томсона : если жидкость идеальная, иапряжеиие массовых сил обладает однозначным потенциалом и процесс баротропиый, то циркуляция по любому замкнутому жидкому контуру ие зависит от времени.

Натянем иа замкнутый контур С произвольную поверхность 5. По теореме Стокса (3.35) будем иметь

Г= ()vdr=2

codS

(7.78)

Из формул (7.77) и (7.78) следует, что при выполнении условий теоремы Томсона поток вихря ие зависит от времени, или

co„dS =

(rotv)„dS = const.

(7.79)

Уильям Томсон, лорд Кельвин (1824-1907), английский физик. Иностранный почетный член Петербургской Академии Наук.