Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

В случае квазнстацнонарного течения, как это следует нз определения осреднения (10.2),

(р¥ =

(p{x,y,z)y/{x,y,z,T)dT = (ру/

(10.6)

Для нестационарных процессов соотношение (10.6) постулируется. Из формул (10.5) и (10.6) следует, что

(ру/ = (ру/ = О.

(10.7)

В соответствии с правилом дифференцирования интеграла с перемен-

ными пределами имеем

dt ~Tdt J

(fix,y,z,T)dT

x,y,z,t

x,y,z,t-

(10.

дт dt

TO есть производная по времени осредиениого значения равна осредиенио-му значению производной. Равенство

d(p

dx, dx,

(10.9)

очевидно.

§3. Уравнение Рейнольдса

Уравнения Рейнольдса представляют собой уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости, записанные для осреднеиных параметров потока.

Рассмотрим уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (4.42),

dv, dv, dp

dx, dt dx.

(10.10)

dVi dVi d[ViVj j dViVj dVi dvv dt dt dx dx dt dx

Далее очевидно, что иа основании правил осреднения

(10.13)

dv, dv, -- dp dp /-.-..ч

-- = -Av. = Av., -£-=-£-. (10.14)

Эд:. Эд:. Эд:,. Эд:,.

Из равенств (10.13), (10.14) и уравнений (10.10) имеем окончательно

dv, dv, dp ЭЬ;У.

= О, р-= pFi-- + MAVi -Р, (10.15) dXi dt dXi dx

или в векторном виде

dd ~ - diWiZ)

diYV = О, р-= pF -Ур + pAv - р--. (10.16) dt dxj

Таким образом, в результате проведенного осреднения уравиеиие неразрывности сохранило свой вид, а в уравнениях движения появились дополнительные члены вида pViVj.

Для ионимання полученного результата воспользуемся уравнениями движения сплошной среды в напряжениях (2.49)

pf = PF (10.17)

dt dx.

dVj dpij

p-I- = pF + . (lO.i;

dt dx.

Положим в соответствии с гипотезой Рейнольдса, что

р = р + р\ Vi=Vi+v[. (10.11)

Для удобства дальнейших иреобразований заметим, что в случае несжимаемой жидкости можно записать

dv. dv. dVj dv. dv. dv. dv. dv- dlvv.) „, - = -- + v. - = - = -- + v, -L + ». = + ±Jl, (10.12) dt dt Эд: dt dt dXj Эд: dt dXj

Подставив в равенство (10.12) соотношение (10.11) для скорости, иа основании правил осреднения (10.3)-(10.9) с учетом уравнения неразрывности получим

dt Эх, -

(10.20)

Уравнения (10.15), (10.16), (10.19), (10.20) представляют собой различные формы записи уравнений Рейнольдса.

Из уравнений Рейнольдса следует, что при временном осреднении турбулентного течения дополнительно к тензору осреднеиных вязких напряжений

Pji = -Pji + iMeji возникает симметричный тензор турбулентных иаиряжеиий

pvAi - pVAi - pViVj

р VjV, - р VjVj - р VjVj

р VjV, - р VjVj - р VjVj

(10.21)

Таким образом, уравнения Рейнольдса содержат 6 дополнительных неизвестных - компонент тензора турбулентных иаиряжеиий (10.21) и, следовательно, являются незамкнутыми. Вопрос об их замыкании, то есть вопрос об отыскании связи между тензором турбулентных иаиряжеиий и осредненными характеристиками потока, представляет собой до настоящего времени одну из основных проблем теории турбулентности.

§4. Полуэмпирическая теория турбулентно сти Л.Прандтля

Полуэмиирическне теории турбулентности основываются на каких-либо гипотезах, связывающих турбулентные наиряжения с полем осреднеиных скоростей. Основой для формулирования этих гипотез является обобщение эксиериментального материала и введение в получающиеся таким образом соотношения эмпирических констант.

Прн построении иолуэмпирнческих теорий используется изложенная выше идея О.Рейиольдса о представлении ноля скоростей турбулентного потока в виде суммы ноля осреднеиных скоростей V и поля пульсацион-ных составляющих v. При этом вводятся линии тока осредиениого движения, неироницаемые для осреднеиных скоростей, но проницаемые для

Осредняя уравнения (10.17) н (10.18) по времени, с учетом равенства (10.13) получим

Р = РР(рг-рЩ (10.19)

dt дх,