Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

[р] = [Pf или - = - - . (5.8)

Так как единицы длины, массы и времени взаимно независимы, то ириравиивая показатели степеней npnL, TVf, Г, из равенства (5.8) получим

а = 1, -За + Д = -1, -Д = -2,

откуда 0=1,Д=2и[р] = ].

Запишем теперь аналогично для , Q,

Ш = [ЯШУ, или

Очевидно, что последнее равенство ие может соблюдаться ни нри каких сен Д

Таким образом, размерность давления может быть выражена через раз-мериосги плотности и скорости, а размерность вязкости ие может быть выражена через размерности расхода и длины.

Введем следующее определение. Пусть дана совокупность k размерных физических величии aj, а2, ... , а,. Если размерность ии одной из этих величии ие может быть выражена через размерности остальных k-l величии, то совокуииость величии aj, а2, ... , а, называется совокупностью параметров с независимыми размерностями.

Из ириведеииого оиределеиия следует, что р., образуют совокупность параметров с независимыми размерностями, ар, р, V - совокуииость параметров с зависимыми размерностями.

Пусть дана система единиц измерения из т основных единиц. Покажем, что в этой системе число k единиц с независимыми размерностями ие превосходитт, т.е. к<т.

Примем для простоты рассуждений, что m = 3 и основными единицами являются L, TVf, Т. Пусть а;, а2 ,аз - размерные величины. Положим

{a,X = {a,YVa,Y{a,Y. (5.9)

§3. Величины с независимыми размерностями

Рассмотрим две совокуииости размерных величии: скорость У, давление р, плотность р и вязкость , расход Q, длина /. Их размерности в классе L М Г таковы

М = , [р] = [р] = ; = -, [Q] = у, m =

Запишем равенство

щ щ щ

Щ 712 Щ

Если А ? О, то система (5.10) имеет едииствеииое решение, и значит справедливо равенство (5.9). Следовательно, величина является размерно-зависимой, и k=3.

Если А=0, то между столбцами детерминанта существует линейная зависимость, иаиример,

Лщ = Лщ + упц, Лп = Лп2 + Л\ = +vli

При этом случаи =v =0, =Я=0, A=v=0 исключаются, так как, но условию, ai, ai, 13 - размерные величины. Таким образом, при А=0 величины й!, "3 размерио-зависимы, ик<3.

Очевидно, что изложенные рассуждения могут бьпгь без труда обобщены иа случай т >3.

Из ириведеииого доказательства следует, что если ai, 2, , "к при k=m обладают независимыми размерностями, то размерность любой размерной величины flk+i может бьпгь выражена в виде

= [«1Г[а2Г... [«.Г. (5.11)

Из формулы (5.11) следует также, что при к = т величины ai, aj, , могут быть приняты за новую систему единиц измерения.

В соответствии с формулой размерности (5.7) [aJ = [M][L][]4 и равенство (5.9) можно представить в виде

откуда, ириравиивая показатели стенеией при L, М имеем

m-iX + mjy + ТЩ2 = т,

JliX + П2У + Щ2 = «4, (5.10)

lX + liy + lj2 = I4.

По условию Ot, Д, ие равны нулю одиовремеиио ([4] ф1). Поэтому равеиства (5.10) представляют собой иеодиородную систему трех линейных уравнений относительно неизвестных х, у, г.

Рассмотрим определитель этой системы

Oft \пР + Дй InQ + ... = О,

то есть получим систему к линейных алгебраических уравнений для неизвестных переходных множителей Q, ... .

Выше было доказано, что число параметров с независимыми размерностями к меньше или равно числу основных единиц измерения, то есть< т. Пусть к= т. Детерминант системы (5.13) заведомо отличен от нуля, так как в противном случае существовала бы линейная зависимость между его столбцами и величины а,, aj, обладали бы зависимыми

размерностями, что противоречит исходному пред иол ожеиию. Следовательно, при к = т система (5.13) обладает едииствеииым решением.

В случае к< т число уравнений меньше числа неизвестных и система (5.13) имеет бесконечное множество решений.

в основу изложения настоящего параграфа положены идеи, предложенные Г.И.Баренблаттом.

§4. П-теорема*

П-теорема представляет собой основную теорему теории размерностей. Для ее доказательства рассмотрим предварительно одно вспомогательное утверждение.

Пусть в системе единиц измерения данного класса имеется совокуииость физических величии а,, aj, ... , йь обладающая независимыми размерностями. Покажем, что внутри данного класса можно перейти к такой системе единиц измерения, в которой численное значение любой из величии й!, aj, ... , йь например, для определеииости а,, изменится в ироизволь-иое число Л раз, а численные значения всех остальных величии останутся иеизмеииыми.

Пусть в выбранном классе систем единиц измерения имеется т основных единиц измеренияQ,.... Тогда, ио ранее доказанному,

[Oil = , [%] = PQ... , [%] = PQ... ,

где хотя бы одна из величии с, Д (/ =1, 2,... , т) отлична от нуля.

Изменим масштабы основных единиц измерения в Q, ... раз так, чтобы численное значение остальных сохранилось бы без изменения. Тогда

PQ...= A, P-Q-... = \, ... , P«Q... = 1. (5.12) Логарифмируя равенства (5.12), получим

OilnP + Д lnQ+ ... = 1пА,

£2lnP +AlnQ + ... = 0,