Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 [ 128 ] 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

н (19.11) закона Дарен для изотропных сред на закон Дарен для анизотропных пористых сред (18.46).

Уравнения в системах (19.10) и (19.11) записаны в универсальной безнидексной форме, справедливой для любой системы координат. Проектируя эти уравиеиия, например, иа декартову систему координат, будем иметь, соответственно, для уравиеиий (19.10)-

Эи) ди>2 Эиз

W, = -

= 0.

дХ др

и для уравиеиий системы (19.11)-

W, = -

k Эр

ЭдГз

= 0.

р дХ

k Эр

Р дХ2

k Эр р ЭдГз

(19.12)

(19.13)

Для сжимаемого флюида математическая модель включает еще уравиеиие состояния. Рассмотрим, к каким особенностям приводит данное обстоятельство.

§6. Модель фильтрации газа по закону Дарси. Функция Л.С.Лейбепзопа

Как бьшо сказано, при учете сжимаемости жидкости (газа) в процессе фильтрации в недеформируемом пласте необходимо задать в явном виде уравиеиие состояния (определяющее уравненне), связывающее между собой плотность н давление. Уравиеиия состояния могут быть различными, однако построение модели и все необходимые прн этом математические иреобразоваиия можно проделать в общем виде.

\pip)dp.

(19.16)

Равенство (19.16) позволяет определить явный внд функции Лейбеизона нрн заданном уравнении состояния р = pip), а подстановка уравиеиия состояния в иолучеииое выше уравнение

m-Adiv(gradP)= О dt р

позволяет получить уравиеиие относительно лишь одной функции - давления р. Проведенные преобразования в более общем виде далее будут использованы нрн рассмотрении теории упругого режима.

После введеиия функции Лейбеизона систему (19.14) уравнеинй можно переинсать в виде

т-Адр = о,

dt р

pw = -grdP,

р = pip) р= jpdp.

Математическая модель фильтрации сжимаемой жидкости (газа) в недеформируемой изотропной пористой среде без учета силы тяжести в общем виде определяется системой уравиений

div pw = О,

w = --grad p, (19.14)

P = P(p)-

Систему (19.14) можно преобразовать к виду, более удобному для решения задач, когда система приводится к одному уравнению отиосительио одной неизвестной функции. Для вывода такого уравнения подставим закон Дарен в уравнение неразрывности и получим

т + divf- /?-grad р] = - - div(/?grad р) = 0.

dt [ р ) dt р

Дальиейшее иреобразоваиие связано с введением функции Р, позволяющей провести линеаризацию выражения иод оператором днвергенцнн:

gradР = рgrad р. (19.15)

Функция Р называется функцией Лейбеизона. Из (19.15) с учетом того, что р = pip), интегрированием получаем

= 0.

Поэтому функцию Лейбензона, определенную равенством (18.16), можно обобщить, полагая

grad Р = р{р) grad р.

Замкнутые системы уравнений (19.14) и (19.17) определяют математическую модель теории фильтрации вязкой сжимаемой жидкости (газа) в недеформируемой изотроииой иористой среде.

Математические модели (19.14) и (19.17), очевидно, эквивалентны и описывают неустановившееся фильтрационное течение. Для установившегося процесса системы упрощаются и принимают вид

div /? й = О,

W = --grad р, (19.18)

Р = Р{р)

АР = О,

pw = - - grad Р,

(19.19)

Р = Р(р) Р = \pdp,

соответственно.

Таким образом, при установившейся фильтрации первое уравненне системы (19.19) иредставляется уравиеиием Лапласа для функции Лейбензона, интегрируя которое можно найти эту функцию и, далее, определить распределение скоростей и давлений в пласте. Первое уравиеиие системы (19.17) содержит две иензвестиых функции - плотность н функцию Лейбензона, ио при задании уравиеиия состояния (предпоследнего соотношения в системе), его тоже можно представить в виде дифференциального уравиеиия только для функции Лейбензона.

Для математической модели (19.8) пласт считается деформируемым, так как пористость и проницаемость полагаются функциями давления. При этом изменение давления в пласте столь существенно, что н вязкость тоже полагается функцией давления. Поэтому подстановка закона Дарен в уравненне неразрывностн приводит к обобщенной функции Лейбензона. В самом деле, при такой подстановке получаем

-divfpWgradp