Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Это обозначение было введено Максвеллом.

Размерность физической величины (р обычно обозначается символом [] и иредставляет собой выражение производной единицы измерения через основные.

В соответствии со вторым законом Ньютона в классе МКСС размер-

иость массы т равна ут\=-=-, где F - сила, а - ускорение, а в клас-

[а] L

ceMLT-[m] =М.

Плотность р вещества, но оиределеиию, иредставляет собой отношение массы m к объему V. Поэтому в классах ALJ" и МКСС имеем, соответственно,

[V] V W\

Из ириведеииых примеров видно, что в классе MLT единица массы является основной, а в классе МКСС - производной. Размерность илотиости в классах MLT и МКСС имеет разный вид. Отсюда следует, что говорить о том, является ли какая-либо единица измерения основной или производной, а также говорить о ее размерности можно только иримеиитель-ио к рассматриваемому классу единиц измерения.

Уменьшим единицу измерения массы в а раз, а единицу измерения длины - в /? раз. Тогда число, выражающее величину массы, увеличится в а раз, а длины - в раз. Следовательно, число, выражающее величину илотиости, как это вьпгекает из ее размерности в классе MLT, изменится в а-/~ раз. Аналогично можно рассмотреть масштабы пересчета численных значений и для других физических величии.

Таким образом, размерность физической величины иредставляет собой функцию, которая определяет, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к другой системе внутри данного класса.

§2. О формуле размерности

Исходным пунктом для вывода формулы размерности является утверждение, что внутри заданного класса все системы единиц измерения равноправны. Отсюда следует, что отношение двух численных значений какой-либо производной величины ие зависит от выбора масштабов основных

основы теории размерностей и подобия 83

единиц измерения внутри данного класса систем единиц измерения. Например,

SiM SiCM дкг/м дг/см SjM SjCM р2кг/м PjtIc

где Si, Sj - площади каких-либо фигур; pi, р2 - илотиости двух различных сред.

Пусть - и = f{x,y,z) некоторая производиая размерная величина, а X, у, Z - численные значения основных единиц измерения, например, длины, массы и времени. Пусть и - значение величины w, соответствующее значениям аргументов х, у, г. Уменьшим осиовиые единицы измерения, соответственно, в се, Д 7 раз. Тогда иа основании исходного утверждения

и f(x,y,z) f(ax,f3y,])

и f[x\y\z) f[ax\(3y\y

откуда

njj у (5.1)

f[x,y,z) f{x,y,z)

Таким образом, отношение численных значений производной величины, полученных в разных масштабах основных единиц, зависит только от отношения этих масштабов. В соответствии с ириведеииым выше оиределеиием функция (р(а,13,]) представляет собой размерность величины и.

Из формулы (5.1) следует, что

f{x,y,z) f[x,y,z)

(5.2)

9(2, А, Гг) f{c(2X, Дг/, Г22) Положим ajX = х, Дг/ = у, = z. Тогда из формул (5.1) и (5.2)

имеем

Р2 72 ) JOCl А Tl

(р(с(2, р2. 72) f{x\ у, Z) Д2 Г;

(5.3)

Дифференцируя равенство (5.3) но ql, получаем

3(oi,A,ri

А 72

9(2, 2,72) Э0Г1

се-,

Пусть теперь (Xi = а2 = а, pi= р2=р, yj =) = у. Тогда 1 д(р(а,р,у) т (р [а, р, у) да се

д<р

C(i Рг 72

\.2J

= const.

«iA=ZL=i

«2 А Г2

Интегрируя равенство (5.4) но а, находим

In = т\па + \nCi{p,y),

откуда

(р = аС{р,г)-Подставив соотиошеиие (5.5) в равенство (5.3), имеем

\.2J

Ck{P,7i)

Ci{P2,72

Р2У2

(5.4)

(5.5)

(5.6)

т.е. имеем уравиеиие того же вида, что и соотиошеиие (5.3). Продолжая аналогичные рассуждения, т.е. дифференцируя выражение (5.6) но Д и т.д., получаем:

= CaPf.

Из формулы (5.1) следует, что при а= р = у=1 (р =1. Таким образом, С=1, и формула размерности приобретает вид

= cTpf. (5.7)

Таким образом, доказано, что формула размерности физической величины имеет вид стеиеииого одночлена.

Из формулы (5.7) следует, что для безразмерных величии т = п = 1= О (р=\.