Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

то есть рассматриваемое течение, несмотря иа наличие прямолинейных линий тока, является вихревым.

Выражение = Ц--- представляет собой известный закон треиия Ньютона, где fi - динамический коэффициент вязкости.

Для газов коэффициент часто определяется формулой =

где Т - абсолютная температура. Более точная формула (формула Сатерленда) имеет вид

1 + С/Т, \т 1+С/ТТ/ где С - константа, различная для разных газов.

Из приведенных формул видно, что с ростом температуры вязкость газа возрастает. Для жидкостей, наоборот, с ростом температуры вязкость уменьшается.

Так как при течении жидкостей (газов) температура зависит от координат и времени, то коэффициенты вязкости также являются функциями координат и времени.

§4. Уравнения движения вязкой жидкости

Для вывода уравнений движения вязкой жидкости воспользуемся уравнениями движения сплошной среды (2.43).

Учитывая, что Я = - - , из формул (4.29) имеем

dXi dXi

div V

div и

В соответствии с формулами (3.5) имеем

ydXj

ydXj

a-divu + z/AUj,

dx,

где A - оператор Лапласа

(4.33)

(4.34)

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), французский физик, астроном и математик. Иностранный почетный член Петербургской Академии Наук.

Подставив соотношения (4.33) и (4.34) в уравиеиия (2.43), получим

j LV

„ 2

div 5

div V

(4.35)

Уравиеиия (4.35) называются уравнениями Навье-Стокса для вязкой сжимаемой жидкости. При = = О они обращаются в уравиеиия Эйлера (4.6). Уравиеиия Навье-Стокса, в отличие от уравнений Эйлера, представляют собой нелинейные уравиеиия второго порядка.

Для вывода уравиеиия для закона сохранения энергии для вязкой сжимаемой жидкости вычислим предварительно величину

3fe5) HpijVj) dVj dpij

dXi dXi dXi

Из формул (3.5) и (4.29) следует, что

(4.36)

дх,-

г 2

div у

div V

2jU£t

\дх,-

(4.37)

div 5

divu + 2jU£ij£ij.

Ha основании формул (4.33) и (4.34) имеем

= vV

г 2

div и

Эх. (4.38)

+ yV(divu) + fivAv.

Подставив выражения (4.37) и (4.38) в уравиеиие (2.65) и используя известную форму векторного анализа

divu = divy + vSlcp,

получим

,2 Л

= р¥о + div - + - -

div и

V + UV/ZVU;

(4.39)

U:V -- + /ftjV(divy) + Av + 2ll£if + /Jg.

Анри Навье (1785-1836), французский инженер и ученый.

§5. Математическая модель вязкой несжимаемой жидкости

Система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, как это следует из равенств (2.25), (4.8), (4.14), (4.35), (4.39) и (4.40), имеет вид

dt dt дх div и = О,

d dt

dt дх> ЭХ;

и + - V 2,

= pFv - и Vp + vyyVi + v/i - + vAv + 2ее + pq,

u = u{p,T), jU = m{T),

Эта система из восьми уравнений содержит восемь неизвестных (/?, , W, Г, р, V,) и является замкнутой.

Для однородной несжимаемой жидкости первое из уравнений (4.41) обращается в тождество, а плотность, как уже указывалось, является известной константой.

В отличие от несжимаемой идеальной жидкости, система уравнений (4.41) ие является чисто механической. Действительно, так как вязкость есть функция температуры, то последняя влияет иа характер течения.

При изотермическом режиме течения вязкой несжимаемой жидкости система уравнений (4.41) существенно упрощается и принимает вид

div и = О,

др , (4.42)

Уравнение (4.39) представляет собой закон сохранения энергии для вязкой сжимаемой жидкости. При fj, = = О оно обращается в уравиеиие для идеальной жидкости (4.6).

Система уравнений для вязкой сжимаемой жидкости содержит 9 неизвестных (/?, , Q и, р, Vj, Т) и семь уравнений: уравиеиие иеразрывиос-ти (2.32), уравнения состояния (4.7) и (4.8), уравнения движения (4.35), закон сохранения энергии (4.39). Для ее замыкания необходимо добавить зависимости

М = М{Т\ С=С{Т). (4.40)