Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

теоретической механики известно, что уравнения движения при определенных условиях имеют первый интеграл, представляющий собой закон сохранения механической энергии. Из сказанного следует, что уравнения Эйлера при соответствующих условиях также должны иметь первый интеграл. Этот интеграл называется интегралом Бернулли .

Для вывода интеграла Бернулли, представляющего собой одно из важнейших соотношений гидромеханики, введем следующие предиоложе-иия:

ч d п

а) течение установившееся, - = О;

б) напряжение массовых сил обладает потенциалом, F = УП . В этих предположениях уравнение (7.13) принимает вид

Vp = УХ rot у.

(7.14)

При установившемся движении линии тока и линии вихря неподвижны в простраистве, причем линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости. Вдоль линии тока V = vs, а вдоль линии вихря rot У = rot У s,

где s, «2 - орты касательных к линии тока и к линии вихря. Поэтому, умножая уравиеиие (7.14) последовательно на s," н нлн, что то же самое, проектируя это уравиеиие иа линию тока и линию вихря, получим

= 0.

= 0.

(7.15)

(7.16)

При установившемся движении все характеристики движения [р, р, Т, v) суть, функции координаты s,, отсчитываемой вдоль неподвижной в пространстве лнннн тока. Поэтому р = p{s,,L,\ р = p{s,,L,), где L, -метка рассматриваемой линии тока. Исключая из этих соотношений 5i, получим р = f,\p,L,). Аиалогичио для липни внхря получим р = fj[р,Lj), где Lj - метка соответствующей линии вихря.

Даниил Бернулли (1700-1782), швейцарец по национальности, математик и механик. Действительный, а затем почетный член Петербургской Академии Наук.

Смешанное произведение \ciXbj - С при С 11 Ь пни С 11 а равно нулю.

Наличие соотиошеиий вида р = f{p, L] позволяет ввести функцию давления

dp Р

или Р =

(7.17)

где интеграл берется вдоль линии тока (вихря). Функция давления Р оире-делена с точностью до аддитивной постоянной и в общем случае есть функ-цияЬ, то есть функция выбранной линии тока (вихря). Из равеиства (7.17) следует, что

ЭР 1 др

VP = -Vp. Р

(7.1!

Подставив соотиошеиие (7.18) в равеиства (7.15) и (7.16), получим

.2 Л

- П + Р

- П + Р

= 0.

= 0.

откуда, после интегрирования вдоль линии тока (вихря) имеем

г"

-П + Р + -

- П + Р

(7.19)

(7.20)

(7.21)

(7.22)

Интеграл Бернулли утверждает, что нрн установившемся движении и наличии нотенциала напряжения массовых сил трехчлен

-П + Р + - (7.23)

сохраняет ностоянное значение вдоль линии тока (вихря). Константа (\ {Cj) иа разных линиях тока (вихря) может иметь разные значения.

Соотношения (7.21) и (7.22), справедливые, соответственно, вдоль всякой линии тока и линии вихря, называются интегралом Бернулли.

Рассмотрим какую-либо линию вихря и проведем через ее точки линии тока. Эти линии образуют поверхность тока. Так как вдоль фиксированной линии вихря [Lj ) = const, то вдоль всех линий тока, ее пересекающих, Ci{Li) = CjiLj) = const. Таким образом, иа ностроенной иоверхиости тока выполняется условие = const.

Аналогично, если через какую-либо линию тока провести линии вихря, то иа образованной таким способом вихревой иоверхиости будет выполняться условие Cj = const. В случае нотенциального течения, то есть

при V = V, из формулы (7. принимает вид

следует, что rot у = О, и уравиеиие (7.14)

vp = 0.

(7.25)

Отметим особо, что при V = V(р равенство (7.25) справедливо во всей области течения. Поэтому

-Ур = VP, (7.26)

причем функция давления Р будет, очевидно, одной и той же во всей области течения. Следовательно, как это видно из ее определения (7.18), давление зависит только от плотности. Процесс, при котором давление зависит только от плотности, называется баротропным.

Примерами баротропиых процессов могут служить течение несжимаемой жидкости, изотермические процессы. Ниже будут рассмотрены и другие примеры баротропиых процессов.

Подставив соотношение (7.26) в уравиеиие (7.25), получим

- П + Р

= 0.

- П + Р

= С.

(7.27)

причем равенство (7.27) справедливо вдоль любой линии, проведеииой в жидкости, а константа С имеет одно и то же значение во всей области, занятой жидкостью.

Итак, если течение установившееся и потенциальное, а иапряжеиие массовых сил имеет потенциал, то процесс будет баротропным.

Обратно, из уравнения (7.13) и соотиошеиия (7.26) следует, что если течение установившееся, потенциальное и баротропиое, то

.2 Л

то есть такое течение может существовать только при наличии потенциала иапряжеиия массовых сил.

§3. Частные виды интеграла Бернулли

Рассмотрим установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. В этом случае р = const, F = g, 11 = -gs, где s - вертикальная координата.