Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [ 81 ] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

dt эх Г эг

Полагая p[x,t)= Pq[x)+ p*{x,t\ u{x,r,t)=Ufy{x,r) + u*{x,r,t), где

* *

Uq, pq - стационарные значения скорости и давления, а и , р - их возмущения, иерепишем уравнение (13.84) в виде

эи эр р э

(13.85)

dt эх г эг Начальные условия для возмущений имеют, очевидно, вид

t<0, и*{х,г,0)=0, p*{x,t)=0. (13.86)

обычно нспользуется гипотеза квазнстацнонарности. Расчеты, выполненные на базе этой гипотезы, как правило, хорошо подтверждаются экспериментом. Тем не менее, в ряде случаев, особенно при наличии крутых фронтов давления (скорости), а также нрн течении неньютоновских жидкостей, бьши обнаружены заметные расхождения между эксиериментальными и теоретическими результатами. Это обстоятельство заставляет обратить особое внимание иа правомерность гипотезы квазнстацнонарностн. Действительно, т, как известно, есть функция реологических характеристик

жидкости и распределения местных скоростей по сечению потока. В то же время распределение скоростей нрн нестационарном течении существенно отличается от такового при стационарном. Для случая ламинарного неустановившегося течения несжимаемой жидкости этот факт бьш теоретически установлен в работах И.С.Громеки, П.Лямбоссн и ряда других авторов и эксиериментально исследован Е.Ричардсоном и Е. Тайлером. Очевидно, что уравнения для осреднеиных величин в ирницние не позволяют оценить влияние нестацнонарности на величину силы трения. Поэтому для уточнения связи с осредненными параметрами течения необходимо обратиться к рассмотрению соответствующих дифференциальных уравнений для местных величин, то есть к уравнениям Навье-Стокса.

Оставаясь в рамках тех же допущений, что и нрн выводе уравнений (13.28), то есть пренебрегая сжимаемостью жидкости и упругостью трубы в уравнении движения, запишем уравнение Навье-Стокса в виде

р- = рР-ур + цад. (13.83)

Рассмотрим осесимметричное течение по круглой цилиндрической трубе, считая, что из массовых сил действует только сила тяжести. В этом случае уравнение (13.83) в проекции иа ось трубы Ох имеет вид (13.29), или

эи Э / \ и д ( дил

p = -\pg + р) + - , u = v. (13.84)

В дальнейшем индекс * будем опускать н под р, и понимать возмущения давления и скорости.

Применяя к уравнению (13.85) и начальным условиям (13.86) иреобразоваиие Лапласа ио времени, получим

cfU[x,r,s) 1 c)U[x,r,s) s Эг г Эг V

ps dx

= О, (13.87)

U(x, r,s) =

u(x,r,t)e dt, P(x,s) =

p(x,t)e-dt, v = A (13.

Вводя функцию

Ф(х,г,з)= U(x,r,s]

1 dP{x,s) ps dx

из уравиеиия (13.87) после умножения иа г и замены переменной

получим

2 ЭФ ЭФ 2 г.

(13.89)

(13.90)

(13.91)

Эг Эг

Уравнение (13.91) представляет собой однородное уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение, ограниченное при г = г = О, имеет вид

ф(д:,г,5) = С(д:,5)/о(2), (13.92)

где /qI) ~ функция Бесселя от мнимого аргумента нулевого порядка.

Подставив решение (13.92) в соотношение (13.89), с учетом равенства (13.90) получаем

1 (/P(x,s)

X]\x,r,s) = C[x,s)Iq

ps dx

(13.93)

Функция U{x,r,s) должна удовлетворять условию прилипания жидкости иа стенке трубы, то есть при г = R

U{x,R,s)= О,

откуда в соответствии с равенством (13.93) получаем

1 dP(x,s] ps dx

= C(x,s)Iq

(13.94)

Исключая нз формул (13.93) н (13.94) С{х, s), получаем

U{x,r,s) = - ps

г I- \

dP{x, s)

(13.95)

Умножая равенство (13.95) на - н интегрируя полученное

выражение от О до R, то есть осредияя решение по радиусу, получаем

dP{x, s) dx

= -psV(x,s,

= -psV{x,s]

2л-V a

где Ij - функция Бесселя от мнимого аргумента второго порядка,

V{x,s) =

rU[x,r,s)dr, а =

(13.96)

(13.97)

Из формул (13.30), (13.88) и (13.97) следует, что о -R "

V(x,s) = \r\u{x,r,tydtdr = li о о

= jru(x,r>t)e~drdt = jw(x,t)e~dU . . о li о о

то есть V[x,s) иредставляет собой изображение но Лапласу средней скорости w{x,t).

Применяя иреобразоваиие Лапласа к первому нз уравнений (13.41), то есть к уравнению неразрывности, с учетом начальных условий (13.86) получаем

= -Лр(-.)- 03.98)

dx рс

Уравнения (13.96) и (13.98) представляют собой записанные в изображениях по Лапласу уравнения ламинарного неустановившегося движения вязкой слабосжимаемой жидкости но круглой цилиндрической трубе для средних в сечении величин скорости и давления при начальных условиях (13.86).

Перейдем к определению связи между средней скоростью w и касательным напряжением т. Осреднив уравнение (13.85) но сечению трубы.

При выводе формулы (13.96) были использованы известные соотношения для функций Бесселя