Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

количества движения (2.44), то есть уравнениями

dV +

pvdS = О,

(13.1)

d(pv)

dV +

pvvdS

pFdV +

PndS.

(13.2)

Полагая

Pn + fn.

где - напряжение трения, и используя теорему Гаусса-Остроградского,

уравнение (13.2) можно представить в виде

d(pv)

dV +

pvvdS

pF-Vp dV +

(13.3)

Рассмотрим в качестве объема V участок трубы с прямолинейной осью Ох (гидравлическая ось), ограниченный сечениями f и расположенными па расстоянии dx друг от друга (рис. 13.1). Будем считать, что / = f{x,t), то есть, что

площадь поперечного сечения трубы зависит от координаты и времени. Так как

в сечении / v

= -v, а в сечении

и, то для выделенного элемента V

уравнение (13.1) может быть нредставле-но в виде

Рис. 13.1

pvM +

pvM +

pvdco = 0,

(13.4)

где О) - боковая поверхность элемента V.

Уравнение (13.3) в проекции па ось Ох принимает вид

pvldf +

pvldf +

pvvdw

Эр Эх

(13.5)

Tnxdco.

Очевидно, что для рассматриваемого объема с точностью до членов более высокого порядка малости

(pdf

(pdV

(р di dx.

(pdf

dx J

(pdf dx.

(13.6)

ГЛАВА XIII

Будем также считать, что площадь и форма поперечного сечения трубы / изменяются достаточно плавно, то есть что (рис. 13.1)

cos(«,x) « 1.

Тогда

lim --

dxO dx J

<pdo)

(13.7)

где X ~ периметр сечения потока.

Используя соотношения (13.6) и (13.7) и переходя в уравнениях (13.4), (13.5) к пределу при dx О, получим

df +

дх J

(13.8)

(Px). d

dp dx

Эх ,

df +

pvldf +

PxndZ

dx ,

xxdf +

(13.9)

nx dz •

Для дальнейшего преобразования уравнений (13.8) и (13.9) вычис-

лим величину

Рис. 13.2

где (p{x,y,2,t) - некоторая дифференцируемая функция координат и времени.

Так как f = f{x,t), то df =

= vdxt, где - проекция скорости V на внешнюю нормаль п

к плоскому контуру / (рис. 13.2). Тогда

(pdf = lim

(р{х, y,z,t + At)

f{x,t + At)

C(p(x, y, z, t)

f{x,t)

(p(t + At) - (p{t)

f{x,t)

df + lim

(p(t + At)

f{x,t + At)-f{x,t)

;d£

df+ (pvdx.

(13.10)

При течении вязкой жидкости иа боковой поверхности со касательная составляющая скорости pj. = О, а нормальная составляющая = ±v . Поскольку нормаль п лежит в плоскости, перпеидикуляриой Ох, а cos(re, х) « 1 по условию, то

К = v„ cos(y,«) = y„Vl-cos(«,x) = У„, и формула (13.10) может быть представлена в виде

dt .

(pdf =

f f X

Подставив выражение (13.11) в уравиеиия (13.8) и (13.9), имеем

dt .

dt .

pvdf

dx .

pvldf =

dx .

pv,df = 0, d

(13.11)

(13.12)

Эх .

xxdf

(13.13)

/ / / fx

Примем далее, что едииствеииой действующей массовой силой являть Эй

ется сила тяжести, то есть рг. = -pg , где - координата точки жидкости, отсчитываемая от произвольной горизоитальиой плоскости вертикально вверх. Тогда

dzdp dx dx

df = -

{p + pgz,)-gz.

Как для газа, так и для слабо сжимаемой жидкости величина gz, мала по сравиеиию с . Поэтому

{p + pgz,)df = -f{p + pgz,l (13.14)

поскольку для плавно изменяющегося потока cos(re, х) « Ij, как это следует из уравиеиий Навье-Стокса, в поперечном сечеиии / р + pgz, ~ const. Далее, очевидно, можно написать

nxdZ=xZ (13.15)

где Ту - среднее по периметру сечеиия потока значение . Величиной

Эх .

xxdf