Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [ 126 ] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Рис. 19.1. к выводу закона сохранения массы Изменение массы равно притоку массы через контрольную поверх-

ность, который равен

С) pv.mdS = О pwjidS,

где щ - внешняя нормаль к контрольной поверхности.

Действительно, поток массы через элементарную площадку dS, по

определению, равен

pivndS или pwndS,

то есть, равен скалярному произведению вектора массовой скорости и вектора нормали к площадке, умноженному на величину площадки. Для вычисления потока массы через всю поверхность нужно проинтегрировать

эти элементарные потоки по всей поверхности.

Следовательно, можно составить балансовое уравнение

mpdV = -С) pwJi.dS,

(19.1)

которое читается следующим образом: изменение массы в контрольном объеме равно притоку флюида через контрольную поверхность. Появление

знака «минус» в правой части уравнения обусловлено ориентацией вектора нормали к контрольной поверхности. Так как нормаль внешняя к контрольной поверхности, то «втеканию» флюида в контрольный объем должно соответствовать увеличение массы, положительное значение производной по времени в левой части равенства (19.1) и отрицательное значение скалярного произведения w под интегралом в правой части этого

равенства. Для уравнивания знаков необходимо поставить минус. Аналогичное рассуждение справедливо для «вытекания» флюида.

Уравнение (19.1) представляет собой интегральную формулировку закона сохранения массы флюида в пористой среде. Нетрудно увидеть, что

по сравнению с интегральной формулировкой закона сохранения массы,

полученной во второй главе, интегральное уравнение для пористой среды

содержит вместо илотиости р величину шр, представляющую собой фиктивную илотиость флюида - плотность, размазанную по всему объему пористой среды.

При установившемся движении производная по времени равна нулю, и из равеиства (19.1) следует

С рщщй8 = 0.

Поэтому если в качестве контрольного объема взять трубку тока для скорости фильтрации, то получим

(19.2)

p,w,Js =

где (а = 1,2) - площади двух сечений трубки тока (иа «входе» и иа «выходе»). При выводе равеиства (19.2) бьшо использовано, что скалярное произведение вектора скорости фильтрации и вектора нормали равно гощ = , где - проекция вектора скорости иа нормаль, и что в одном случае оиа положительна (например, в сечении с индексом 2), а в другом -отрицательна. Для несжимаемой жидкости р\ = р2= Р , поэтому

Если скорости в обоих сечениях по всему сечеиию постоянны, то получаем равенство

Выписанные соотиошеиия по своему физическому смыслу и по форме записи аналогичны формулам, полученным ранее в первой части этой книги.

От иитегральиой формулировки закона сохраиеиия массы можно ие-рейти к дифференциальной. Для этого сначала в силу фиксироваииости контрольного объема в иростраистве внесем оператор d/dt под знак интеграла, а затем с помощью теоремы Гаусса-Остроградского преобразуем поверхностный интеграл в объемный. В результате преобразований получим

div piv

dV = 0

(19.3)

Из условия, что равенство (19.3) выполняется для любого объема V, следует, что выражение под знаком интеграла равно нулю, то есть

div pw = 0.

(19.4)

Уравнение (19.4) выражает закон сохранения массы в пористой среде в дифференциальной форме нлн уравнение неразрывности при фильтрации флюида в пористой среде.

Если пористость т постоянна, то ее можно вынестн за знак производной и переписать уравнение неразрывностн в виде

т- + div pw = О.

Для несжимаемого флюида р = const, поэтому уравиеиие иеразрывиости принимает еще более простой вид

div W = 0.

При выводе как интегрального, так и дифференциального законов сохранения массы считалось, что в объеме пористой среды пет ни нсточнн-ков, ии стоков флюида, ие происходит химических реакций, фазовых переходов и так далее. Если же это ие так, то в правую часть уравнения (19.4) необходимо добавить функцию которая будет задавать массу флюида, поступающего (уходящего) в единицу времени в единицу объема, то есть оно приобретет вид

-+ div pw = q. ot

При этом q будет положительной величиной, если флюид поступает в объем, и отрицательной, если флюид уходит из объема.

§3. Дифференциальное уравнение движения флюида

Другой универсальный закон сохранения механики - закон изменения количества движения (импульса). В механике сплошной среды этот закон, записанный в дифференциальной форме, имеет вид уравиеиия движения сплошной среды в иапряжеииях. Дальнейшая его трансформация определяется реологическими (или определяющими) уравнениями среды. В нашем случае в качестве определяющих уравиеиий выступает закон вязкого треиия Ньютона, приводящий к уравнениям Навье-Стокса. Но так как в подземной гидромеханике изучается движение осредиеииое ио всему объему иористой среды, то уравиеиия необходимо осредиить. В результате осреднения получается обсуждавшийся выше закон Дарси. Однако применяемые прн подобном выводе закона Дарен математические методы выходят за рамки курса подземной гидромеханики. В первой главе бьш рассмотрен вывод, основанный на гидравлических соотношениях. Здесь рассмотрим еще одни вывод, который был сделан Н.Е.Жуковским.