Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Выражение (3.22) представляет собой определение аффинного ортогонального тензора второго ранга. Таким образом, скорости деформаций представляют собой симметричный {Ец - ei) тензор второго ранга, ком-

поненты которого задаются матрицей

33 J

§3. Физический смысл компонент тензора скоростей деформаций

Для выяснения физического смысла компонент тензора скоростей деформаций рассмотрим вектор R, параллельный оси Oxi. Для этого вектора направляющие косинусы равны ai = l, а2 = (Хз = 0, и ш формулы (3.18) в этом случае имеем £ = п- Следовательно, представляет собой скорость относительного удлинения вектора, параллельного оси Oxi. Аналогично можно показать, что - скорости относительного удлине-

ния вдоль соответствующих координатных осей. Положим, что поступательная

и вращательная скорости жидкой частицы отсутствуют. Рассмотрим вектор R, лежащий в плоскости xiOx2 (рис. 3.2). За время dt этот вектор преобразуется в вектор R\ который может и не лежать в плоскости xiOx2. То-

Fdt.

гда (рис. 3.2) 00 v dt

Разложим вектор v dt на векторы О1О2 и 020; так, чтобы вектор

О1О2 был перпендикулярен R и лежал в плоскости xiOx2. Очевидно, что

Рис. 3.2

О1О2 = Vidt, Vi - составляющая вектора v в плоскости xiOx2

Так как О1О2 = R d(p = v[ dt, то

dcp V

nVF 1 dF

1 dF

dt R

R dn d(p

где n - единичный вектор, направленный по OiOo .

ГЛАВА III

В плоскости xiOx2 координаты вектора R равны j=i?cos, 2 = R sin , 3 = о, и в соответствии с формулой (ЗЛО)

откуда

£n)sin 2(р + COS 2(p,

(3.23)

Рассмотрим вектор Ri R и лежащий в плоскости х\Ох2. Тогда

= «, + 1 и. как следует из формулы (3.23), d« = Следовательно,

векторы R м R\ либо расходятся, либо сходятся, но всегда вращаются в противоположные стороны. Скорость у изменения угла между векторами Д и очевидно, равна = 2. При = О, как это следует из

формул (3.23), у = le

Итак, представляет собой половину скорости скашивания координатного угла в плоскости х\Ох2. Аналогичное значение имеют в соответствующих плоскостях компоненты Siii Ф k).

Рассмотрим в качестве примера течение с полем скоростей Vi = О, V2 = kXi,, 3 = О. Оче-

Bi видно, что в этом случае бесконечно малый квадрат ОАВС (рис. 3.3) за время t с точностью до малых второго порядка превратится в ромб OAiBiC. В соответствии с формулами (3.5)

для заданного поля скоростей имеем

Рис. 3.3

Следовательно, скорость скашивания прямо-

го угла АОС равна у = 2£

§4. Тензорная поверхность симметричного тензора

второго ранга

Рассмотрим поверхность второго порядка с центром в начале координат. Ее уравнение, как известно из курса аналитической геометрии, имеет

ахх = 1 , а = ai, (3.24)

где Xi - декартовы координаты, - коэффициенты иоверхиости второго

порядка. При переходе из одной системы координат в другую, декартовы координаты преобразуются по правилу

= kik г. х = ацХ1,

и в новой системе координат уравиеиие (3.24) запишется в виде

Щ]ЫЩ]А = тптп = 1 (3.25)

где а,пп ~ коэффициенты поверхности второго порядка в новой системе координат.

Из формулы (3.25) следует, что коэффициенты поверхности второго порядка в новой и старой системах координат связаны между собой равенствами

то есть коэффициенты ац поверхности второго порядка (3.24) представляют собой симметричный тензор второго ранга.

Итак, каждому симметричному тензору второго раита можно поставить в соответствие поверхность второго порядка вида (3.24) и, наоборот, всякой поверхности второго порядка вида (3.24) можно поставить в соответствие симметричный тензор второго ранга. Поверхность щхх = 1 называется характеристической поверхностью тензора второго раита или тензорной поверхностью.

В курсах аналитической геометрии доказывается, что у всякой поверхности второго порядка вида (3.24) имеется по меньшей мере три таких взаимно-ортогональных направления, приняв которые за оси координат, квадратичную форму ахх приводят к каноническому виду. Эти иаиравлеиия называются главными или собственными иаправлеииями, а координатные оси - главными осями тензорной поверхности.

Уравиеиие тензорной поверхности (3.24) в главных осях имеет вид

[(цх + axl + (цх1) = 1, (3.26)

матрица тензора а -

а, О О О «2 О О О Оз