Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

которая представляет собой сумму

кинетической энергии

Vit)

p - dV 2

(2.5)

и внутренней энергии

ри dV,

(2.6)

Vit)

энтропией

ps dV,

(2.7)

V(t)

где p = p(Xjyt) - плотность, v = v(Xj,t) - скорость, и = u(Xj,t) - удельная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия, s = s{Xj,t) - удельная (отнесенная к единице массы) энтропия, г - радиус-вектор материаль-

пои частицы, отсчитываемый от точки, относительно которой определяется момент количества движения, V{t) - материальный (подвижный)

объем.

Закон сохранения массы утверждает, что масса материального объема (2.1) остается постоянной. Следовательно, полная производная от выражения (2.1) равна нулю, то есть

dM d

pdV = 0.

(2.8)

Vit)

Согласно второму закону Ньютона, скорость изменения количества движения жидкого объема равна сумме всех внешних сил, действующих на этот объем. Поэтому материальная производная от величины (2.2) равна

dJ d

dt dt

pvdV = F\

(2.9)

Vit)

сумма всех внешних массовых и поверхностных сил, приложен-

ных к объему V{t).

Сумма внешних массовых сил может быть представлена в виде (рис. 2.1)

pFdV.

Vit)

Сумма внешних поверхностных сил, очевидно, равна (рис. 2.1)

PndS,

Sit)

Рис. 2.1

где aS() - замкнутая поверхность, огра-ничиваюп];ая материальный объем V(t).

dE d г f v

и + - 2

dt dtyy

dV = W + Q. (2.12)

В дальнейшем будем считать, что Q представляет собой только скорость притока тепла. Закон сохранения энергии иначе называется первым началом термодинамики.

Мощность внешних объемных сил W[ равна, очевидно,

W;= \pF-vdV,

Vit)

а для мощности иоверхиостиых сил имеем

W,= jp, vdS.

S(t)

Приток тепла в единицу времени Q можно представить как Q= \pqedV,

Vit)

С учетом этих замечаний закон изменения количества движения (2.9) можно представить в виде

- = - \pvdV= \pFdV+ \pndS. (2.10)

df df J J J

LIL LIL yy yy gy

Закон изменения момента количества движения утверждает, что скорость изменения момента количества движения материального объема относительно любой точки равна главному моменту всех внешних массовых и иоверхиостиых сил относительно той же точки. Так как эти моменты, но определению, равны

I {rxpFJdV, jrxpdS,

V(t) S(t)

то закон изменения момента количества движения для материального объема представляется соотношением

= А \{rxpv)dV= \{rxpF)dV+ \fxp„dS. (2.11)

df df

LIL LIL yy yy gy

Закон сохранения энергии состоит в утверждении, что скорость изменения энергии материального объема V(t) равна сумме механической работы внешних массовых и иоверхиостиых сил W", совершенных в единицу времени (мощность внешних сил), и притока в единицу времени прочих видов энергии Q. Следовательно, материальная ироизводиая от выражения (2.4) будет связана с величинами W и Q соотношением

dt dty

V 2

Vit) Sit) Vit)

Наряду с законами сохранения массы, изменения количества движения, момента количества движения и с законом сохранения энергии можно сформулировать теорему (закон) об изменении кинетической энергии (теорему живых сил) . Эта теорема утверждает, что изменение кинетической энергии жидкого объема во времени равна сумме работ (мощностей) внешних и внутренних сил, действующих иа этот объем. Поэтому материальная производиая от выражения (2.5) представляется в виде

= А j pdV = jpFvdV+ jPnVdS+ jpNdV, (2.14) dt dt ji 2 ji jl jl

где TV** - удельная no массе мощность внутренних сил, то есть мощность, приходящаяся иа единицу массы среды.

Подчеркнем особо, что в соотношение (2.14), в отличие от закона сохранения энергии (2.13), входят мощности как внешних, так и внутренних сил.

Закон баланса энтропии представляет собой второй закон термодинамики и формулируется следующим образом: скорость изменения энтропии жидкого объема V(t) никогда ие может быть меньше, чем сумма притока энтропии через его границу S(t) и энтропии, производимой внутри объема внешними источниками. Математическая запись закона баланса энтропии в интегральной форме выражается неравенством

- \psdV> \pedV- (2.15)

Vit) Vit) Sit)

которое носит название неравенства Клаузиуса-Дюгема. В неравенстве (2.15) приняты следующие обозначения: s - удельная по массе энтропия, е - мощность локальных внешних источников энтропии, отнесеиная к единице массы, q - вектор потока тепла через единицу площади в едн-инцу времени. Равенство в формуле (2.15) осуществляется для обратимых процессов, а неравенство - для необратимых.

в отличие от приведенный выше законов теорема об изменении кинетической энергии не является независимым законом. Как известно из теоретической механики, эта теорема выводится из теоремы (закона) об изменении количества движения.

где - удельное по массе количество тепла, подводимое к жидкому объему V(t) в единицу времени.

Тогда закон сохранения энергии (2.12) ирнинмает вид

rlF rl f 1?

\pu + -dV= \pFvdV+ \pnVdS+ \pq,dV. (2ЛЗ)