Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

= - rot У 2

dXi ЭХ2 dXj Vi V2 Vj

Вектор Й) называется вихрем скорости .

Введем в рассмотрение квадратичную функцию

Благодаря тому, что = , из формулы (3.10) следует, что

ЭР

С помощью формул (3.9) и (3.11) равеиства (3.8) можно неренисать в виде

д¥

(3.10)

(3.11)

v = у, +a)xR + VF. (3.12)

Если бы рассматриваемая малая частица была абсолютно твердой, то, как известно из теоретической механики, расиределеиие скоростей в ией имело бы вид

V = + сох (3.13)

где - скорость ностунательиого движения, а 3 - вектор мгиовеииой угловой скорости. Таким образом, из формул (3.12) и (3.13) следует, что

VF = v-v,

то есть величина V иредставляет собой скорость деформации.

Замечание: совокупность точек (9i, окружающих точку (9, образует частицу жидкости. За время dt точка О иолучает иеремещеиие, равное vdt,

а точка Oi - равное vdt. Из рис. 3.1 видно, что R + vdt = R + vdt или, с учетом формулы (3.12),

dR = R-R = [v -v)dt = (a)xR+VF)dt. (3.14)

Полагая й = е, из формул (3.3) и (3.14) получаем

R = ekk = R + [v - v)dt = R + (r- v)vdt

Некоторые авторы под виярем скорости понимают величину rot U = 2<В.

dR RdR RdR KxR + Vi jyp

- - - - -

Rdt Rdt Rdt R R

R R

Так как - = щ - направляющие косинусы вектора R, то R

(3.17)

£r = = iktak = 2F(aj), (3.18)

и относительное удлинение £ ие зависит от длины вектора R , а зависит только от его иаиравлеиия.

Пусть £л = 0. Тогда из равенства (3.17) следует, что

£=VF = VF=0, (3.19)

~ R \ -

где R° = - = -ekk - единичный вектор иаиравлеиия R . Так как соот-R R

ношение (3.19) справедливо при любом R", то с учетом формулы (3.11) получаем

VF = е - = ei£ikk = О,

или в координатном виде

rr=i+kdt. (3.15)

На равенства (3.15) можно смотреть как иа иреобразоваиие координат точек жидкой частицы за время dt. Так как величины как указыва-

лось, вычисляются в точке О и, следовательно, от ие зависят, то иреобразоваиие (3.15) линейно. Поэтому за время dt этим иреобразоваиием ио-верхиости второго порядка переводятся в поверхности второго порядка, плоскости - в плоскости, прямые линии - в прямые линии. Например, сфера переходит в эллипсоид. Обозначим

dR = R- R(dR ф dR), 6-=-, (3.16)

где £ji - относительное удлинение вектора R в единицу времени. Из формул (3.10), (3.11), (3.14) и (3.16) следует, что

Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц (1821-1894), немецкий ученый, иностранный член-корреснон-дент Петербургской Академии Наук.

и, следовательно, Sikk = откуда, так как tf,. произвольны, е = О. Обратное утверждение: если все б";;; = О, то 6" = О, и частица ведет себя как абсолютно твердая.

Из ириведеииых рассуждений следует, что V* = VF действительно является скоростью деформации.

Формула (3.12) может быть теперь неренисаиа в виде v = Vm +V* = Vo + ах R + VF и иредставляет собой содержание первой теоремы Гельмгольца : движение элементарного объема жидкости можно в каждый данный момент времени представить разложенным иа квазитвердое движение со скоростью v, равной сумме иостуиательиой скорости v и вращательной й)хД, и деформационное движение со скоростью V* = VF.

§2. Тензор скоростей деформаций

Рассмотрим скалярное ироизведеиие RVF. Из формулы (3.11) и онределения вектора R следует, что

RVF = eiiuk - = Sikik-

Так как скалярное ироизведеиие но своему смыслу иивариаитио относительно преобразования координат, то

ikik = тптпг. (3.20)

где - координаты старой, а - новой систем координат.

Вектор R в старой и новой системах координат имеет вид R = ekk = ip где ej - орты новой системы координат. Умножив это соотиошеиие иа eft, получим формулы иреобразоваиия координат

4 = = = fm«mfe = (3-21)

где aft - косинусы углов между осями новой и старой систем координат. Подставив соотношения (3.21) в формулу (3.20), имеем

а так как это равенство справедливо при любых щ, то

тп = (ктЛк- (3.22)