Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [ 46 ] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

Так как жидкость, ио условию, идеальная, то р„ = -рп, и

PndS = -

рп dS -

рп dS -

pndS - R,

(7.121)

R = pnda

- сила, с которой ноток действует иа тело.

Будем считать, что жидкость либо несжимаема, либо процесс адиабатический. Так как скорости в сечениях и равны по величине, то из иитеграла Бернулли (7.28), или (7.46) и (7.47), следует, что р, = pj = А ~ Рг ~ Pi Рг Pi Рг ~ давления и плотности в сечениях к. Sj. При этих условиях из равенства (7.120) имеем

pvvJdS = о,

и из соотношений (7.119) и (7.121) получаем

pndS ,

(7.122)

так как = Sj, а нормали иа этих поверхностях направлены в противоположные стороны.

Нормаль иа поверхности Sj перпеидикуляриа направлению скорости Vq. Поэтому, проектируя равенство (7.122) иа направление скорости, получаем

R = 0.

Итак, если в идеальной жидкости, ие имеющей свободной поверхности, движется с постоянной скоростью тело произвольной формы, жидкость несжимаема или процесс адиабатический, а движение жидкости непрерывно, при этом иа бесконечности перед и за телом жидкость ие возмущена, то сопротивление движению тела равно нулю. Это утверждение представляет собой парадокс Даламбера.

Этот парадокс возник благодаря предположению, что далеко перед телом и далеко за ним жидкость покоится, жидкость идеальна и течение жидкости непрерывно. Реально эти условия ие соблюдаются, и парадокс Даламбера ие наблюдается.

Глава VIII

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

§1. Комплексный потенциал течения

Течение, при котором все его характеристики одинаковы в нараллель-иых плоскостях, то есть зависят только от двух координат и времени, называется илосконараллельиым. Такое течение обычно рассматривается в илос-

косги хОу. Каждая линия, ироведеииая в этой плоскости, в действительности является направляющей цилиндрической иоверхиости с образующей,

нернеидикуляриой к плоскости хОу. Все величины расходов жидкости, сил, ириложеииых к телам, относятся к единице высоты соответствующих цилиндрических иоверхиостей.

Рассмотрим плоско параллельное течение несжимаемой жидкости. Из уравиеиия иеразрывиости (2.25) имеем

Положим

divy = + =0. (8.1)

Эд: ду

ду/ -ду/

Функция у/ = у/{х,у, t) удовлетворяет уравнению иеразрывиости (8.1), и* дх ду

Функция у/= y/{x,y,t) называется функцией тока. Из равеиства (8.3) при dy/ = О имеем

dx dy

dy/ = -zdx + dy = vdy - Vydx. (8.3)

Соотиошеиие (8.4), как это видно из формул (1.22), иредставляет собой уравиеиие линий тока, иа которых у/ = const.

эемя t рассматривается как параметр.

плоскопараллельные течения идеальной жидкости

Рассмотрим линии тока у/\х,у) = и у/\х,у) = у/, (рис. 8.1). Рас-

ход Q через линию S равен

V ndS

Рх cos{n,x)dx + V cos(n,y)\dS.

f \ dy , dx ,

Гак как cos(w, x) - -, cos(w, y) - --, то в соответствии с форму-

лой (8.3)

V dx - vjy

dy/=y/,-y/..

(8.5)

TO есть разность щ - у/ представляет собой расход жидкости между линиями тока y/Q = const и 1 = const.

Рис. 8.1

При потенциальном течении

Vx Vy

Из формул (8.2) и (8.6) следует, что при потенциальном течении

д(р ду/

дх ду ду

ду/ дх

(8.6)

(8.7)

Соотношения (8.7) представляют собой условия Коши-Римана, при вы-

полнении которых функция комплексного переменного z

Wiz) - (р[х,у) +iy/(x,y), z-x + iy

(8.8)

является аналитической. Функция W{z) называется комплексным потенциалом.

Из уравнения неразрывности (8.1), соотношений (8.6) и условий Коши-Римана (8.7) следует, что А(р = О, = О, то есть и потенциал скоро-

стен, и функция тока являются гармоническими функциями.