Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНЖИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 19

Прн опнсаннн движения сплошной среды могут быть использованы два разных метода.

В первом методе, методе Лагранжа , для опнсання движения используются в качестве независимых переменных материальные координаты Xi - переменные Лаграижа н время t. Пусть физическая величина А (векторная или скалярная) задана как функция переменных Лагранжа н времени

A = A(X,t). (1.6)

при фиксированных значениях материальных координат зависимость (1.6) описывает изменение во времени величины А в фнксирован-ной материальной точке сплошной среды. Прн фикснроваином значеннн t соотношение (1.6) описывает распределеине величины А в материальном объеме в фиксированный момент времени. Таким образом, физический смысл метода Лаграижа заключается в описании движения сплошной среды посредством описания движения ниднвидуализированиых материальных точек.

Во втором методе, методе Эйлера , для оинсаиня движения используются пространственные координаты Xi - переменные Эйлера и время t. В этом случае различные характеристики сплошной среды (например, скорость, температура, давление и т.д.) должны быть заданы как функции Эйлеровых переменных. Пусть величина А (векторная или скалярная) задана как функция переменных Эйлера:

A = A(x,t). (1.7)

прн фиксированных пространствеиных координатах х зависимость (1.7) описывает изменение во времени величины А в заданной точке пространства. При фиксировании значения времени t соотношение (1.7) описывает распределеине величины А в простраистве в этот момент времени. Таким образом, физический смысл метода Эйлера состоит в оинсаини поведения сплошной среды в фиксированных точках простраи-ства, а ие в точках движущейся сплошной среды.

Использоваине того или иного метода зависит от постановки задачи, при выводе основных законов движения необходимо пользоваться методом Лагранжа, так как эти законы формулируются для фиксированных материальных объектов. В то же время прн решении конкретных задач гидромеханики предпочтительным является метод Эйлера, так как в этом слу-

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), французский математик и механик, иностранный почетный член Петербургской Академии Наук.

Леонард Эйлер (1707-1783), математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. Один из основоположников теоретической гидромеханики. Действительный, а затем иностранный почетный член Петербургской Академии Наук.

Если описание по методу Эйлера известно, то известно распределение скоростей, т.е. известны функции У,(х.,£).

чае, как правило, важно знать распределение характеристик среды в пространстве.

Методы Лаграижа и Эйлера эквивалентны в том смысле, что если задано опнсанне движения но одному из них, то всегда возможен переход к описанию движения но другому методу.

Переход от переменных Лаграижа к переменным Эйлера в случае, когда величина А задана как функция лагранжевых координат, то есть задано соотношение (1.6) и известен закон движения (1.3), сводится к разрешению уравнений (1.3) относительно величии Х, то есть к нахождению

уравнений (1.5) и замене Xj иа Xj{Xi,t). Тогда из соотношений (1.5)

и (1.6) имеем

A(Xj, t) = A(Xj(Xi, t), t) = A(Xi, t). (1.8)

Если известен закон движения (1.3), а величина А задана как функция эйлеровых координат, то есть задано соотношение (1.7), то, проделывая преобразования в равенстве (1.8) в обратном порядке, имеем

A(Xi,t) = A(Xi(Xj,t),t) = A(Xj,t). (1.9)

Если закон движения ие задан, но известно распределение вектора скорости V = ё;У;(д:, t), то из равенств (1.3) или (1.4) следует, что

Vi(Xj,t) = . (1.10)

<У1

Интегрируя уравнения (1.10) получим, что Xf = Xj(Ci, C2,Cj, t), где Cj - константы интегрирования, которые представляют значения Xi в некоторый момент времени to н могут быть приняты за «метки», индивидуализирующие материальные точки сплошной среды. Следовательно, в результате интегрирования уравнений (1.10) определяется закон движения сплошной среды (1.3) и переход от метода Эйлера к методу Лаграижа выполняется в соответствии с равенством (1.9).

Таким образом, при переходе от метода Лаграижа к методу Эйлера и наоборот могут возникнуть лишь технические трудности при разрешении уравнений (1.1), или интегрировании соотношений (1.8), так как теоретически такой переход возможен всегда.

§3. Локальная н субстанциональная производная

Скорость изменения со временем любого свойства А, например, скорости, плотности, температуры фиксированной материальной точки

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНЖИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 21

движущейся сплошной среды называется субстанциональной (матерналь-ной, индивидуальной или полной) производной по времени и обозиача-dA

ется символом-.

Величина А может быть скаляром или вектором и задана как функция лаграижевых или эйлеровых координат, т.е. А = A(Xi,t) или А = A(Xi,t). Так как материальная точка движется по своей траектории, то величина А может быть задана также в виде А = A{s, t), где s - длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории.

Прн движеини фнксированиой точки ее материальные координаты ие изменяются. Поэтому

dt at

Наоборот, ее пространствеиные координаты являются функциями времени и, следовательно,

Ал(..,*)М(,! 0.12)

dt dt Эх dt

AAfe*) = M(M) + Mf. (1.13)

dt dt ds dt

ds dx-

Очевидно, что - = v - модуль вектора скорости, а -- - компоиен-dt dt

ты вектора скорости рассматриваемой точки. Тогда с учетом уравнений

(1.10) формулы (1.12) и (1.13) могут быть представлены в виде

Mx„t) = -.v,-. (1.14)

dt dt dXj

A(s,t) = v. (1.15)

dt dt ds

Если A - скалярная величина, то очевидно, что

V. MiLl = vgradA = vVA, (1.16)

a производиая по иаправлеиню s равна

dA(s, t) . dA . .

- = sVA и V- = vs VA = vVA, ds ds

(1.17)